Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a integral imprópria
com
, verificando convergência (no zero e no infinito) e calcular seu valor, além de checar convergência absoluta. Vamos usar conceitos de integrais impróprias e a definição da função Gama.
Passo 2
Para verificar a convergência em
, observamos que
quando
. A integral
converge se
. Como
por hipótese, a parte em zero está ok.
Passo 3
Para verificar a convergência em
, usamos que o decaimento exponencial domina qualquer potência. De fato, para
grande,
para algum
, e
converge. Logo a integral converge no infinito.
Passo 4
Como o integrando
é não negativo em
, a convergência obtida é também convergência absoluta.
Passo 5
Para calcular o valor de
, fazemos a mudança de variável
. Então
e
. Assim temos
Passo 6
Reconhecemos
. Portanto
Resposta
Para todo
a integral
converge (e converge absolutamente) e vale
.