Decida quais integrais impróprias abaixo são convergentes e tente calcular seu valor. Dentre as convergentes, tente determinar aquelas que são absolutamente convergentes.
integral0^infty x^alpha e^-beta x d x, alpha, beta>0

Passo 1

O enunciado pede para estudar a integral imprópria I=integral0^infty x^alpha e^-beta x,dx com alpha,beta>0, verificando convergência (no zero e no infinito) e calcular seu valor, além de checar convergência absoluta. Vamos usar conceitos de integrais impróprias e a definição da função Gama.

Passo 2

Para verificar a convergência em x=0, observamos que x^alphae^-beta xsim x^alpha quando xto0^+. A integral integral0^1x^alphadx converge se alpha>-1. Como alpha>0 por hipótese, a parte em zero está ok.

Passo 3

Para verificar a convergência em xtoinfty, usamos que o decaimento exponencial domina qualquer potência. De fato, para x grande, x^alphae^-beta x<= Ce^-beta x/2 para algum C>0, e integral1^inftye^-beta x/2dx converge. Logo a integral converge no infinito.

Passo 4

Como o integrando x^alphae^-beta x é não negativo em [0,infty), a convergência obtida é também convergência absoluta.

Passo 5

Para calcular o valor de I, fazemos a mudança de variável t=beta x. Então x=t/beta e dx=dt/beta. Assim temos
I=integral0^inftyx^alphae^-beta xdx=integral0^inftyl(tbetar)^alphae^-tdtbeta=1beta^alpha+1integral0^inftyt^alphae^-tdt

Passo 6

Reconhecemos integral0^inftyt^alphae^-tdt=Gamma(alpha+1). Portanto
I=Gamma(alpha+1)beta^alpha+1

Resposta

Para todo alpha>0 a integral integral0^inftyx^alphae^-beta xdx converge (e converge absolutamente) e vale Gamma(alpha+1)beta^alpha+1.

Exercícios relacionados