[8 pontos] Determine a reta contida em pi: 2 x-2 y+3 z=6 que é perpendicular à reta r:(c1-t 1+t 2 t). Lembre-se que retas perpendiculares são concorrentes.

Passo 1

O enunciado dá o plano pi:2x-2y+3z=6 e a reta r parametrizada por
r(t)=1-t1+t2t
Queremos achar uma reta ell contida em pi que seja perpendicular a r. Como retas perpendiculares devem se intersectar, vamos:
  1. Encontrar o ponto P onde r intercepta pi.
  2. Determinar o vetor direção v de ell que seja ortogonal ao vetor direção de r e que ainda fique em pi.

Passo 2

Para achar o ponto P, substituímos r(t) na equação de pi:
2(1-t)-2(1+t)+3(2t)=6
Isso dá
2-2t-2-2t+6t=6;Longrightarrow;2t=6;Longrightarrow;t=3
Logo
P=r(3)=l(1-3,;1+3,;2cdot3r)=(-2,,4,,6),
que é o ponto de interseção rcappi.

Passo 3

Chamando de dr=(-1,,1,,2) o vetor direção de r e de n=(2,,-2,,3) o vetor normal de pi, o vetor direção v=(v1,v2,v3) de ell deve satisfazer
vcdot dr=0 e vcdot n=0
Isto é,
-,v1+v2+2v3=0, 2v1-2v2+3v3=0
Resolvendo, vem v3=0 e v1=v2. Tomando v=(1,1,0) obtemos o vetor direção desejado.

Passo 4

A reta ell passa por P=(-2,4,6) e tem direção v=(1,1,0). Logo sua forma paramétrica é
ell(s)=-246 + s110, sin R

Resposta

ell:;(x,y,z)=(-2,4,6)+s,(1,1,0), sin R.

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