Dada a matriz A, determine as matrizes P e P^-1 responsáveis pela transformação D=P^-1AP, onde D é a matriz diagonal similar à matriz A.
A= -9 & 0 & 0 & 0 9 & 2 & 0 & 0 3 & 0 & -5 & 0 -3 & 9 & 6 & -2

Passo 1

O enunciado pede diagonalizar
A= -9 & 0 & 0 & 0 9 & 2 & 0 & 0 3 & 0 & -5 & 0 -3 & 9 & 6 & -2 ,
isto é, encontrar uma matriz inversível P e sua inversa P^-1 tais que
D = P^-1 A P
é diagonal.
Conteúdo usado: autovalores (da forma triangular, são as entradas da diagonal) e autovetores (resolução de (A-lambda I)v=0), depois montagem de P com colunas sendo esses autovetores e cálculo de P^-1 por substituição (é triangular).

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores são as entradas da diagonal:
lambda1=-9, lambda2=2, lambda3=-5, lambda4=-2

Passo 3

Calculamos cada autovetor resolvendo (A-lambdai I)vi=0:
1. lambda1=-9:
do sistema surgem
x2=-tfrac911x1,; x3=-tfrac34x1,; x4=tfrac654308,x1
Para eliminar denominadores, escolhemos x1=308. Então
v1 = 308-252-231654
2. lambda2=2:
x1=0,; x3=0,; 9x2=4x4;Longrightarrow;v2=0409
3. lambda3=-5:
x1=0,; x2=0,; 6x3+3x4=0;Longrightarrow;v3=001-2
4. lambda4=-2:
x1=x2=x3=0,;x4neq0 ;Longrightarrow; v4=0001

Passo 4

Montamos
P=l[v1;v2;v3;v4r] = 308 & 0 & 0 & 0 -252& 4 & 0 & 0 -231& 0 & 1 & 0 654 & 9 & -2& 1 ,
e a matriz diagonal
D=diag(-9,,2,,-5,,-2)

Passo 5

Como P é triangular inferior, seu inverso P^-1 também é triangular inferior e encontra‐se por substituição direta resolvendo P,X=I. O resultado é
P^-1= 1308 & 0 & 0 & 0[6pt] 944 & tfrac14& 0 & 0[6pt] 3344 & 0 & 1 & 0[6pt] -tfrac6928& -tfrac94 & 2 & 1 ]

Resposta

]

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