[ 8 pontos ] Determine as condições sobre a constante k in R para que as retas r, parametrizada por (c1+t 2 t-1 2 t), e s, dada pela interseção dos planos pi1: 2 x+y-z=k e pi2: x-2 y+z=3, sejam concorrentes.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de kinR tais que a reta
r:;(x,y,z) = (1+t,;2t-1,;2t)
e a reta s, obtida como interseção dos planos
pi1:2x+y-z=k e pi2:x-2y+z=3, sejam concorrentes (ou seja, tenham um ponto em comum).

Passo 2

Para que r e s se encontrem, deve existir t tal que o ponto
P=(1+t,;2t-1,;2t)
pertence a ambos os planos. Começamos impondo que P satisfaça pi2:
x-2y+z=3 Longrightarrow (1+t)-2(2t-1)+(2t)=3

Passo 3

Calculamos o lado esquerdo:
1+t-4t+2+2t = 3 - t
Logo a equação 3 - t = 3 implica
t = 0
O ponto candidato de interseção é
P = (1+0,;2cdot0-1,;2cdot0) = (1,,-1,,0)

Passo 4

Finalmente, exigimos que P satisfaça pi1:
2x+y-z = k Longrightarrow 2cdot1 + (-1) - 0 = k Longrightarrow k = 1

Resposta

O valor de k para o qual as retas r e s são concorrentes é
k = 1

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