Considere o conjunto de vetores linearmente independentes X=x1, x2, x3, x4.
I. Utilize o método de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal U=u1, u2, u3, u4 a partir de X.
II. Determine o vetor de coordenadas (z)U de um dado vetor z em relação à base U.
z=(5,1,4,-1)
x1= 0 2 5 3
x2= 5 3 4 1
x3= 1 -4 5 0
x4= 0 0 -1 2

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos em R^4 o conjunto de vetores linearmente independentes
x1=0253, x2=5341, x3=1-450, x4=00-12,
e o vetor
z=514-1
I. Queremos aplicar o método de Gram–Schmidt para produzir uma base ortonormal hat u1,hat u2,hat u3,hat u4.
II. Depois, expressar z em coordenadas nessa base ortonormal, ou seja
(z)U = lang<= z,hat u1rang<= lang<= z,hat u2rang<= lang<= z,hat u3rang<= lang<= z,hat u4rang<=

Passo 2

Construção de hat u1
Começamos pegando
v1 = x1,
e normalizando:
|v1| = raiz0^2+2^2+5^2+3^2 = raiz38, hat u1 = v1|v1| = 1raiz38 0253

Passo 3

Construção de
Definimos
onde
Calcula-se então
Finalmente
]

Passo 4

Construção de
Definimos
com
Logo
é ortogonal a e a .
Em seguida normalizamos:

Passo 5

Construção de
Finalmente definimos
onde cada projeção é .
Assim fica ortogonal a , e

Passo 6

Coordenadas de z na base U
Como hat ui é ortonormal, basta calcular os produtos internos:
(z)U = lang<= z,hat u1rang<= lang<= z,hat u2rang<= lang<= z,hat u3rang<= lang<= z,hat u4rang<=
Em particular
lang<= z,hat u1rang<= = 1raiz38 l(0cdot5 +2cdot1 +5cdot4 +3cdot(-1)r) = 19raiz38
Analogamente se obtêm lang<= z,hat u2rang<=, lang<= z,hat u3rang<= e lang<= z,hat u4rang<=.

Resposta

A base ortonormal U é
hat u1 = 1raiz38 0253, hat u2 = raiz381097 5[3pt] 2819[3pt] 738[3pt] -4938 , hat u3 = v3|v3|, hat u4 = v4|v4|,
em que v3 e v4 são obtidos pelo procedimento de Gram– Schmidt acima.
As coordenadas de z nessa base são
(z)U = 19raiz38[6pt] lang<= z,hat u2rang<=[3pt] lang<= z,hat u3rang<=[3pt] lang<= z,hat u4rang<= ,
once cada lang<= z,hat uirang<= é dado pelo produto interno usual.]

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