[8,0 pts. ] Calcule a seguinte integral: integral raizx^2+4 d x (sugestão: use substituições trigonométricas; use integração por partes separando um fator de sec ^2 para resolver a integral trigonométrica resultante; você vai precisar resolver algebricamente para a integral trigonométrica e também de usar que integral sec ^3(theta) d theta=ln |sec (theta)+tg(theta)|+C; lembre de voltar no final para a variável x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que requerem substituições trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituições trigonométricas, integração por partes e algumas identidades trigonométricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos usar:
x = 2 tan(theta)
Essa substituição é útil porque dx = 2 sec^2(theta) , dtheta , o que vai simplificar a raiz. Agora, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Substituindo integral raiz(2 tan(theta))^2 + 4 cdot 2 sec^2(theta) , dtheta = integral raiz4 tan^2(theta) + 4 cdot 2 sec^2(theta) , dtheta e raiz4 (tan^2(theta) + 1) = raiz4 sec^2(theta) = 2 sec(theta) na integral original:
integral 2 sec(theta) cdot 2 sec^2(theta) , dtheta = 4 integral sec^3(theta) , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver u = sec(theta) Rightarrow du = sec(theta) tan(theta) , dtheta . Para isso, usamos a técnica de integração por partes. Seja:
dv = sec^2(theta) , dtheta Rightarrow v = tan(theta)
integral sec^3(theta) , dtheta = sec(theta) tan(theta) - integral tan(theta) cdot sec(theta) tan(theta) , dtheta
Aplicando a fórmula de integração por partes ( sec(theta) tan(theta) - integral sec(theta) tan^2(theta) , dtheta ):
sec(theta) tan(theta) - integral sec(theta) (sec^2(theta) - 1) , dtheta = sec(theta) tan(theta) - integral sec^3(theta) , dtheta + integral sec(theta) , dtheta
Simplificando:
2 integral sec^3(theta) , dtheta = sec(theta) tan(theta) + integral sec(theta) , dtheta
Usando a identidade integral sec^3(theta) , dtheta = 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln|sec(theta) + tan(theta)| + C :
Isolando :
Sabemos que , então:

Passo 5

Voltando à nossa integral original:
4 integral sec^3(theta) , dtheta = 4 ( 12 sec(theta) tan(theta) + 12 ln|sec(theta) + tan(theta)| ) + C = 2 sec(theta) tan(theta) + 2 ln|sec(theta) + tan(theta)| + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original tan(theta) = x2 . Lembrando que fizemos a substituição sec(theta) = raiz1 + tan^2(theta) = raiz1 + (x2)^2 = raizx^24 + 1 = raizx^2 + 42 , então:
E, usando a identidade :
Além disso, .

Passo 7

Substituindo 2 cdot raizx^2 + 42 cdot x2 + 2 ln|raizx^2 + 42 + x2| + C = x raizx^2 + 42 + 2 ln|raizx^2 + 4 + x2| + C e x raizx^2 + 42 + 2 ln|raizx^2 + 4 + x| + C de volta na expressão:
Podemos simplificar a constante dentro do logaritmo absorvendo-a na constante de integração:

Resposta

A integral x raizx^2 + 42 + 2 ln|raizx^2 + 4 + x| + C é igual a:

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