pts. Calcule a seguinte integral: (sugestão: use substituições trigonométricas; use integração por partes separando um fator de para resolver a integral trigonométrica resultante; você vai precisar resolver algebricamente para a integral trigonométrica e também de usar que ; lembre de voltar no final para a variável .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que requerem substituições trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar substituições trigonométricas, integração por partes e algumas identidades trigonométricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos usar:
Essa substituição é útil porque , o que vai simplificar a raiz. Agora, derivando ambos os lados em relação a :
Passo 3
Substituindo e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver . Para isso, usamos a técnica de integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes ():
Simplificando:
Usando a identidade :
Isolando :
Sabemos que , então:
Passo 5
Voltando à nossa integral original:
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então:
E, usando a identidade :
Além disso, .
Passo 7
Substituindo e de volta na expressão:
Podemos simplificar a constante dentro do logaritmo absorvendo-a na constante de integração:
Resposta
A integral x raizx^2 + 42 + 2 ln|raizx^2 + 4 + x| + C é igual a: