[9,0 pts., sendo 3,0 pts. cada item ] Calcule as seguintes integrais indefinidas:
© integral ln (x)x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de Técnicas de Integração. Para resolver, vamos precisar usar o método de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Uma boa escolha é deixar e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx e dv = 1x^2 , dx Rightarrow v = integral 1x^2 , dx = -1x :
Aqui, integramos para encontrar .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral ln(x)x^2 , dx = uv - integral v , du = ln(x) (-1x) - integral (-1x) cdot 1x , dx
Simplificando:
= -ln(x)x + integral 1x^2 , dx

Passo 5

Agora, integramos integral 1x^2 , dx = -1x :
-ln(x)x - 1x + C
Então, substituindo de volta:
onde é a constante de integração.

Resposta

integral ln(x)x^2 , dx = -ln(x)x - 1x + C

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