[9,0 pts., sendo 3,0 pts. cada item ] Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a) integral x^4 raiz[3]5+x^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Olha só, se a gente deixar , a gente consegue simplificar a raiz cúbica. Vamos lá!

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 5x^4 em relação a x^4 , dx = du5 . Então:
Isso significa que . Aí podemos isolar :

Passo 4

Vamos substituir integral x^4 raiz[3]5+x^5 , dx = integral raiz[3]u cdot du5 = 15 integral u^1/3 , du e na integral original:
Agora, a integral está mais simples!

Passo 5

Vamos integrar integral u^1/3 , du = u^4/34/3 = 34 u^4/3 . A regra é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
15 cdot 34 u^4/3 = 320 u^4/3
Então, multiplicando pelo que tinha antes:

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original 320 u^4/3 + C = 320 (5 + x^5)^4/3 + C substituindo de volta:
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral x^4 raiz[3]5+x^5 , dx = 320 (5 + x^5)^4/3 + C

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