Seja M_{2 x 2}(Z), o conjunto cujos elementos são todas as matrizes quadradas de ordem dois cujas entradas são números inteiros. Considere a função f: M_{2 x 2}(Z) \rightarrow R, X \rightarrow f(X):=\operatorname{det}(X).
Calcule f(A) e f(B), sendo \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\right) e \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ -1 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado define uma função f: M_{2\times2}(\mathbb{Z}) \to \mathbb{R} por f(X):=\det(X) e pede para calcular f(A) e f(B), onde foram dadas as matrizes
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
\;A tem entradas a_{11}=2, a_{12}=-1, a_{21}=3, a_{22}=1.
\;B tem entradas b_{11}=2, b_{12}=3, b_{21}=-1, b_{22}=1.
O que é pedido: calcular \;f(A)=\det(A) e \;f(B)=\det(B).]

Passo 2

Fórmula para o determinante de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
X=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(X)=ad-bc.
Explicação do que cada símbolo significa:
a é o elemento da primeira linha, primeira coluna; b é primeiro linha, segunda coluna; c é segunda linha, primeira coluna; d é segunda linha, segunda coluna.
Interpretação prática: para calcular \det(X) você multiplica os elementos da diagonal principal ( a e d), multiplica os elementos da outra diagonal ( b e c) e subtrai o segundo produto do primeiro. Esse é o procedimento que vamos aplicar passo a passo às matrizes dadas.]

Passo 3

Aplicando a fórmula em A. Identificamos na matriz A:
a=2, b=-1, c=3, d=1.
Agora calculamos os dois produtos e a diferença:
ad = 2\cdot 1 = 2,
bc = (-1)\cdot 3 = -3.
Subtraindo conforme a fórmula:
\det(A)=ad-bc=2-(-3).
Cálculo final (preste atenção ao sinal): 2-(-3)=2+3=5.
Portanto \det(A)=5.

Passo 4

Pequena observação didática útil para a prova: note que ao multiplicar b e c apareceu um número negativo ( -3), então ao fazer ad-bc você tem uma subtração de um número negativo, o que vira soma. Esse detalhe de sinais costuma confundir, então vale checar sempre os sinais antes de subtrair.

Passo 5

Aplicando a fórmula em B. Identificamos na matriz B:
a=2, b=3, c=-1, d=1.
Calculamos os produtos:
ad = 2\cdot 1 = 2,
bc = 3\cdot (-1) = -3.
Subtraindo:
\det(B)=ad-bc=2-(-3).
Novamente 2-(-3)=2+3=5.
Portanto \det(B)=5.

Passo 6

Comentário adicional (útil na prova): observe que B é a transposta de A — isto é, B=A^{T}. Em geral vale a propriedade \det(A^{T})=\det(A), o que explica por que os determinantes deram o mesmo resultado. Para matrizes 2\times2 isso é imediato ao ver que a fórmula ad-bc fica inalterada ao trocar linhas por colunas.

Resposta

f(A)=5
f(B)=5

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