80)Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de r: P=(-6,1,0)+m(1,-1,1), com a reta s:lx=3 z-2 y=z+5, e que forma ângulos agudos congruentes com os eixos coordenados.
l y=x+11 z=x+6

Passo 1

O enunciado dá duas retas em
e
Queremos a reta que (1) passa no ponto de interseção e e (2) forma ângulos agudos iguais com os três eixos coordenados. Sabemos que, para isso, seu vetor diretor deve ter componentes iguais.

Passo 2

Parametrizamos s por z=t, então
s:;(x,y,z)=(3t-2,;t+5,;t)
Igualamos a parametrização de r, (x,y,z)=(-6+m,,1-m,,m), à de s:
-6+m=3t-2, 1-m=t+5, m=t
Substituindo t=m nas duas primeiras:
-6+m=3m-2;Longrightarrow;-6=2m-2;Longrightarrow;m=-2
Então t=-2 e o ponto de interseção é
Q=(-6-2,;1-(-2),;-2)=(-8,,3,,-2)

Passo 3

Para que a reta forme ângulos iguais com os eixos x,y,z, basta escolher vetor diretor
v=(1,1,1),
pois um vetor com componentes iguais faz ângulos congruentes com os eixos.

Passo 4

A equação vetorial da reta procurada é
t:;(x,y,z)=(-8,3,-2)+k,(1,1,1)

Passo 5

Para escrever y e z em função de x, note que
x=-8+kLongrightarrow k=x+8
Substituindo em y=3+k e z=-2+k, obtemos
y=3+(x+8)=x+11, z=-2+(x+8)=x+6

Resposta

t:; y=x+11, z=x+6

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