Determine o ponto O^prime, simétrico de da origem O dos eixos coordenados, em relação ã reta r: x-2-1=y+1=z-4-2.

Passo 1

O enunciado pede o ponto O' que é o simétrico da origem O=(0,0,0) em relação à reta
r:x-2-1=y+1=z-4-2
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para refletir um ponto P numa reta, calculamos primeiro o pé da perpendicular H de P sobre a reta e depois usamos P' = 2H - P.

Passo 2

Vamos colocar a reta em forma paramétrica. Escolhendo parâmetro t, temos um ponto da reta
A=(2,-1,4)
e vetor diretor
d=(-1,1,-2)
Logo a reta é
r: ;X(t)=A+t,d = (2,-1,4) + t,(-1,1,-2)

Passo 3

Seja P=O=(0,0,0). O pé da perpendicular H é A+td com t tal que PH é ortogonal a d. Assim,
dcdotl(P-(A+td)r)=0
o que dá
dcdot P - dcdot A - t,dcdotd = 0
Como dcdot P=0, segue
t = -dcdot Adcdotd

Passo 4

Calculamos dcdot A e dcdotd:
dcdot A = (-1)cdot2 + 1cdot(-1) + (-2)cdot4 = -2 -1 -8 = -11,
dcdotd = (-1)^2 + 1^2 + (-2)^2 = 6
Logo
t = --116 = 116

Passo 5

O pé H é
H = A + 116,d = l(2,-1,4r) + 116,(-1,1,-2) = l(tfrac16,tfrac56,tfrac13r)

Passo 6

Finalmente, o simétrico O' de O em relação à reta é
O' = 2H - O = 2l(tfrac16,tfrac56,tfrac13r) - (0,0,0) = l(tfrac13,tfrac53,tfrac23r)

Resposta

O' = l(tfrac13,tfrac53,tfrac23r)

Exercícios relacionados