São dadas as retas r:lx=z+1 y=2 z-1 e s:lx=z+3 y=z-5 e o ponto A(3,-2,1). Calcule as coordenadas dos pontos Pe Q pertencentes, respectivamente areas, de modo que A seja o ponto médio do segmento P Q.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço e um ponto A. Precisamos achar Pin r e Qin s tais que A seja o ponto médio de PQ. Vamos usar as equações paramétricas de r e s e a fórmula do ponto médio.

Passo 2

Escolhendo parâmetros t para r e u para s, temos
P(t)=l(xP,yP,zPr)=l(t+1,;2t-1,;tr),
Q(u)=l(xQ,yQ,zQr)=l(u+3,;u-5,;ur)

Passo 3

A condição de que A=(3,-2,1) seja o ponto médio de PQ é
P+Q2=A Longrightarrow P+Q=2A=(6,-4,2)
Isso gera o sistema
(t+1)+(u+3)=6, (2t-1)+(u-5)=-4, t+u=2

Passo 4

Das duas primeiras equações obtemos
t+u+4=6implies t+u=2,
2t+u-6=-4implies 2t+u=2
Subtraindo as duas dá t=0. Então u=2.

Passo 5

Substituindo em P(t) e Q(u):
P(0)=(0+1,;2cdot0-1,;0)=(1,-1,0),
Q(2)=(2+3,;2-5,;2)=(5,-3,2)

Resposta

P=(1,-1,0) e Q=(5,-3,2).

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