Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
contém as retas rly=2 x+3 z=3 x-1 e s: x-12=y-1=z4;

Passo 1

O enunciado nos pede a equação geral do plano que contém as retas r e s. O conteúdo é determinação de plano a partir de duas retas concorrentes: vamos precisar de um ponto em comum e de dois vetores diretores para obter o vetor normal via produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos a reta
tendo vetor diretor é dada por
isto é,
com vetor diretor (\vec v_s=(2,-1,4)].

Passo 3

Igualamos as parametrizações para achar o ponto de interseção:
t=1+2u, 2t+3=-u, 3t-1=4u
Da segunda equação 5+4u=-uRightarrow u=-1, daí t=-1. O ponto comum é
P=(-1,1,-4)

Passo 4

O normal do plano é dado pelo produto vetorial
vec n=vec vrtimesvec vs =(1,2,3)times(2,-1,4)=(11,2,-5)

Passo 5

Usamos o ponto P e o vetor normal vec n na forma
n1(x-x0)+n2(y-y0)+n3(z-z0)=0,
isto é,
11(x+1)+2(y-1)-5(z+4)=0,
que simplifica para
11x+2y-5z-11=0

Resposta

11x+2y-5z-11=0

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