Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das retas:
s: x-22=2 y-4=3 z+3 e r: x+4=2-y-2=z-3, e que passa pelo ponto P(2,-3,1);

Passo 1

O enunciado pede a reta t que passa por P(2,-3,1) e é perpendicular às retas
s:x-22=2y-4=3z+3
e
r: x+4=2-y-2=z-3
O conteúdo é geometria vetorial em R^3: precisamos extrair os vetores direção de s e r e usar produto vetorial para achar um vetor perpendicular a ambos.

Passo 2

Transformamos s em forma paramétrica. Seja lambda=x-22=2y-4=3z+3. Então
x-2=2lambda, 2y=-4lambda, 3z+3=lambda
o que dá
x=2+2lambda, y=-2lambda, z=lambda-33
Escolhendo lambda=3alpha para evitar frações, fica
x=2+6alpha, y=-6alpha, z=alpha-1
Logo um ponto em s é A=(2,0,-1) e seu vetor direção é
vec vs=(6,-6,1)

Passo 3

Análogo para r. Seja mu = x+4=tfrac2-y-2=tfrac z-3. Então
x=mu-4, 2-y=-2mu;Rightarrow;y=2+2mu, z=-3mu
Portanto escolhemos o ponto B=(-4,2,0) e o vetor direção
vec vr=(1,2,-3)

Passo 4

Para que t seja perpendicular a s e r, seu vetor direção vec vt deve satisfazer
vec vtcdot vec vs=0 e vec vtcdot vec vr=0
Um modo simples é tomar o produto vetorial
vec vt = vec vs times vec vr = i&j&k 6&-6&1 1&2&-3 =(16,,19,,18)

Passo 5

Finalmente, a reta t passa por P=(2,-3,1) e tem direção vec vt=(16,19,18). Logo sua forma paramétrica é
x=2+16t, y=-3+19t, z=1+18t

Resposta

x=2+16t,;y=-3+19t,;z=1+18t.

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