80 Para n \geq 0, mostre que a_{n}=2 n^{3}-3 n^{2}+n é um número divisível por 6

Passo 1

O enunciado dá a sequência \,a_{n}=2n^{3}-3n^{2}+n para \,n\ge 0 e pede para mostrar que cada termo é divisível por \,6.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de a_{n} e a condição n\ge 0.
O que se pede: provar que, para todo n\ge 0, 6 divide a_{n} (ou seja, a_{n} é múltiplo de 6).

Passo 2

Primeiro vamos fatorar a expressão para ver sua estrutura. Escrevemos \,a_{n} em evidência e fatoramos o polinômio quadrático:
a_{n}=2n^{3}-3n^{2}+n = n\,(2n^{2}-3n+1).
Agora fatoramos 2n^{2}-3n+1. Procuramos fatores do tipo (an+b)(cn+d) com ac=2 e bd=1. Observa-se que
(2n-1)(n-1)=2n^{2}-2n-n+1=2n^{2}-3n+1.
Portanto
a_{n}=n\,(2n-1)(n-1).
Explicação didática: fatorar ajuda porque transformar uma soma/combinação em produto permite estudar divisibilidade verificando fatores individuais.

Passo 3

Agora vamos ver por que existe sempre um fator par na multiplicação n(n-1)(2n-1). Entre dois inteiros consecutivos n e n-1, um deles é par (porque números pares e ímpares alternam). Logo, pelo menos um dos fatores n ou n-1 é divisível por 2. Assim 2 divide n(n-1)(2n-1). Em símbolos: 2\mid n(n-1)(2n-1).

Passo 4

Precisamos também mostrar que 3 divide a_{n}. Para isso uso um método simples e seguro: analisar os casos de n módulo 3. Primeiro explico rapidamente o que é isso: dizer n\equiv r\pmod{3} significa que n deixa resto r ao dividir por 3. Os possíveis restos são 0,1,2. Vamos checar cada caso:
Caso 1: n\equiv 0\pmod{3}. Então 3\mid n, portanto 3 divide o produto n(n-1)(2n-1).
Caso 2: n\equiv 1\pmod{3}. Então n-1\equiv 0\pmod{3}, logo 3\mid (n-1) e assim 3 divide n(n-1)(2n-1).
Caso 3: n\equiv 2\pmod{3}. Então calculamos 2n-1 módulo 3: 2n-1\equiv 2\cdot 2 -1 \equiv 4-1 \equiv 3\equiv 0\pmod{3}. Logo 3\mid(2n-1) e novamente 3 divide o produto.
Em todos os três possíveis resíduos de n módulo 3, um dos fatores n, n-1 ou 2n-1 é múltiplo de 3. Portanto 3\mid n(n-1)(2n-1).

Passo 5

Já mostramos que 2 divide a_{n} e que 3 divide a_{n}. Como 2 e 3 são primos distintos (logo são coprimos), a divisão por ambos implica divisão por seu produto: se 2\mid a_{n} e 3\mid a_{n} então 6\mid a_{n}. Em termos simples: ser múltiplo de 2 e de 3 implica ser múltiplo de 6.

Passo 6

Para ficar mais concreto, vejamos rapidamente alguns exemplos numéricos (confirmação rápida):
  • Para n=0: a_{0}=0, que é múltiplo de 6.
  • Para n=1: a_{1}=2-3+1=0, múltiplo de 6.
  • Para n=2: a_{2}=16-12+2=6, múltiplo de 6.
    Esses exemplos corroboram o argumento geral, que vale para todo n\ge 0.

Resposta

\,a_{n}=2n^{3}-3n^{2}+n é divisível por 6 para todo n\ge 0.

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