80 Para
, mostre que
é um número divisível por 6
Passo 1
O enunciado dá a sequência
para
e pede para mostrar que cada termo é divisível por
.
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de e a condição
.
O que se pede: provar que, para todo ,
divide
(ou seja,
é múltiplo de
).
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita de
O que se pede: provar que, para todo
Passo 2
Primeiro vamos fatorar a expressão para ver sua estrutura. Escrevemos
em evidência e fatoramos o polinômio quadrático:
Agora fatoramos
. Procuramos fatores do tipo
com
e
. Observa-se que
Portanto
Explicação didática: fatorar ajuda porque transformar uma soma/combinação em produto permite estudar divisibilidade verificando fatores individuais.
Passo 3
Agora vamos ver por que existe sempre um fator par na multiplicação
. Entre dois inteiros consecutivos
e
, um deles é par (porque números pares e ímpares alternam). Logo, pelo menos um dos fatores
ou
é divisível por
. Assim
divide
. Em símbolos:
.
Passo 4
Precisamos também mostrar que
divide
. Para isso uso um método simples e seguro: analisar os casos de
módulo
. Primeiro explico rapidamente o que é isso: dizer
significa que
deixa resto
ao dividir por
. Os possíveis restos são
. Vamos checar cada caso:
Caso 1:
. Então
, portanto
divide o produto
.
Caso 2:
. Então
, logo
e assim
divide
.
Caso 3:
. Então calculamos
módulo
:
. Logo
e novamente
divide o produto.
Em todos os três possíveis resíduos de
módulo
, um dos fatores
,
ou
é múltiplo de
. Portanto
.
Passo 5
Já mostramos que
divide
e que
divide
. Como
e
são primos distintos (logo são coprimos), a divisão por ambos implica divisão por seu produto: se
e
então
. Em termos simples: ser múltiplo de
e de
implica ser múltiplo de
.
Passo 6
Para ficar mais concreto, vejamos rapidamente alguns exemplos numéricos (confirmação rápida):
- Para
: , que é múltiplo de . - Para
: , múltiplo de . - Para
: , múltiplo de .
Esses exemplos corroboram o argumento geral, que vale para todo.