87 [Famat- 01] Prove que
é divisível por
(Solução)
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e pede que provemos que ele é divisível por
Observação sobre a sequência dos expoentes: os primeiros termos mostram os expoentes
, que formam uma progressão com diferença
. Pelo padrão indicado pelos pontos
e pelo termo final
, interpretamos que
tem exatamente 10 termos cujos expoentes são
para
. Assim podemos escrever, de forma explícita,
e também
O objetivo é mostrar que
divide
, isto é, que existe um polinômio
com coeficientes inteiros (ou complexos) tal que
.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (a explicar com calma mais adiante): vamos olhar para as raízes de
(os números complexos que anulam
) e mostrar que todas essas raízes também anulam
. Como
tem grau
e suas raízes são simples e distintas (são certas raízes de unidade), se cada uma dessas raízes anular
então
divide
. Agora vou explicar passo a passo por que isso é verdade e executar essa prova.
Passo 3
Primeiro, identifiquemos as raízes de
. Use a fórmula da soma de uma progressão geométrica: para
,
Logo os zeros de
são exatamente as raízes de
que não são
. Ou seja, as raízes de
são os
-ésimos raízes da unidade diferentes de
: os complexos
tais que
Esses são 9 números distintos, portanto
tem 9 raízes distintas (grau 9), todas com multiplicidade 1.
Passo 4
Agora peguemos uma raiz arbitrária
de
. Então
e
. Vamos calcular
. Escrevemos
, então
Portanto, para qualquer inteiro
,
Isto é uma observação-chave: elevar
a potências múltiplas de
é o mesmo que elevar
a potências menores módulo
, porque
.
Passo 5
Calcule agora
usando a relação anterior:
Mas a soma à direita é exatamente
. Como
é raiz de
, temos
. Consequentemente
. Assim mostramos que qualquer raiz
de
é também raiz de
.
Passo 6
Conclusão algebraica: como
é um polinômio de grau
com 9 raízes distintas
e mostramos que cada uma dessas raízes também anula
, segue que
divide
. (Explicando com mais detalhe: no corpo dos complexos, todo polinômio se fatoriza em fatores lineares. Se todas as raízes de
estão entre as raízes de
com multiplicidade pelo menos igual à multiplicidade em
— aqui todas são multiplicidade 1 — então o produto das linhas correspondentes, que é
até uma constante multiplicativa, divide
. Como ambos são monicos (coeficiente líder igual a 1), a constante é 1 e a divisão é exata.)
Passo 7
Para dar uma visão alternativa (opcional, para fixar a ideia): escrevendo somas geométricas,
e
Como
, temos
divisível por
. Uma verificação cuidadosa do quociente entre essas frações (ou a observação das raízes como fizemos) confirma que
divide
.