87 [Famat- 01] Prove que x^{999}+x^{888}+x^{777}+\ldots+x^{2}+x+1 é divisível por x^{9}+x^{8}+x^{7}+ \ldots+x^{2}+x+1 (Solução)

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
P(x)=x^{999}+x^{888}+x^{777}+\ldots+x^{2}+x+1
e pede que provemos que ele é divisível por
Q(x)=x^{9}+x^{8}+x^{7}+\ldots+x^{2}+x+1.
Observação sobre a sequência dos expoentes: os primeiros termos mostram os expoentes 999,888,777,\ldots, que formam uma progressão com diferença 111. Pelo padrão indicado pelos pontos \ldots e pelo termo final 1, interpretamos que P(x) tem exatamente 10 termos cujos expoentes são 111\cdot k para k=0,1,2,\dots,9. Assim podemos escrever, de forma explícita,
P(x)=\sum_{k=0}^{9} x^{111k}
e também
Q(x)=\sum_{j=0}^{9} x^{j}.
O objetivo é mostrar que Q(x) divide P(x), isto é, que existe um polinômio R(x) com coeficientes inteiros (ou complexos) tal que P(x)=Q(x)\,R(x).

Passo 2

Estratégia que vamos usar (a explicar com calma mais adiante): vamos olhar para as raízes de Q(x) (os números complexos que anulam Q) e mostrar que todas essas raízes também anulam P(x). Como Q tem grau 9 e suas raízes são simples e distintas (são certas raízes de unidade), se cada uma dessas raízes anular P então Q divide P. Agora vou explicar passo a passo por que isso é verdade e executar essa prova.

Passo 3

Primeiro, identifiquemos as raízes de Q(x). Use a fórmula da soma de uma progressão geométrica: para x\neq1,
\sum_{j=0}^{9} x^j = \frac{x^{10}-1}{x-1}.
Logo os zeros de Q(x) são exatamente as raízes de x^{10}-1=0 que não são x=1. Ou seja, as raízes de Q são os 10-ésimos raízes da unidade diferentes de 1: os complexos z tais que
z^{10}=1\quad\text{e}\quad z\neq1.
Esses são 9 números distintos, portanto Q tem 9 raízes distintas (grau 9), todas com multiplicidade 1.

Passo 4

Agora peguemos uma raiz arbitrária z de Q. Então z^{10}=1 e z\neq1. Vamos calcular z^{111}. Escrevemos 111=10\cdot 11+1, então
z^{111}=z^{10\cdot 11+1}=(z^{10})^{11}\cdot z=1^{11}\cdot z=z.
Portanto, para qualquer inteiro k,
z^{111k}=(z^{111})^{k}=z^{k}.
Isto é uma observação-chave: elevar z a potências múltiplas de 111 é o mesmo que elevar z a potências menores módulo 10, porque z^{10}=1.

Passo 5

Calcule agora P(z) usando a relação anterior:
P(z)=\sum_{k=0}^{9} z^{111k}=\sum_{k=0}^{9} z^{k}.
Mas a soma à direita é exatamente Q(z). Como z é raiz de Q, temos Q(z)=0. Consequentemente P(z)=0. Assim mostramos que qualquer raiz z de Q é também raiz de P.

Passo 6

Conclusão algebraica: como Q(x) é um polinômio de grau 9 com 9 raízes distintas z e mostramos que cada uma dessas raízes também anula P(x), segue que Q(x) divide P(x). (Explicando com mais detalhe: no corpo dos complexos, todo polinômio se fatoriza em fatores lineares. Se todas as raízes de Q estão entre as raízes de P com multiplicidade pelo menos igual à multiplicidade em Q — aqui todas são multiplicidade 1 — então o produto das linhas correspondentes, que é Q até uma constante multiplicativa, divide P. Como ambos são monicos (coeficiente líder igual a 1), a constante é 1 e a divisão é exata.)

Passo 7

Para dar uma visão alternativa (opcional, para fixar a ideia): escrevendo somas geométricas,
P(x)=\sum_{k=0}^{9} x^{111k}=\frac{x^{111\cdot 10}-1}{x^{111}-1}=\frac{x^{1110}-1}{x^{111}-1},
e
Q(x)=\sum_{j=0}^{9} x^{j}=\frac{x^{10}-1}{x-1}.
Como 1110=10\cdot 111, temos x^{1110}-1 divisível por x^{10}-1. Uma verificação cuidadosa do quociente entre essas frações (ou a observação das raízes como fizemos) confirma que Q(x) divide P(x).

Resposta

\;x^{9}+x^{8}+x^{7}+\cdots+x+1\mid x^{999}+x^{888}+x^{777}+\cdots+x+1

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