89 Prove que n^{2}-1 é divisível por 8 se n é ímpar.(Falta a Solução)

Passo 1

O enunciado pede que demonstremos que, se n é um número inteiro ímpar, então n^{2}-1 é divisível por 8.
Informações dadas e objetivo claros:
  • Dado: n é ímpar (ou seja, um inteiro da forma \ldots,-3,-1,1,3,\ldots).
  • Provar: que 8 divide n^{2}-1, isto é, 8 \mid (n^{2}-1).

Passo 2

Vamos representar um inteiro ímpar de forma padrão para poder manipular algebricamente.
Qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como
n = 2k+1
onde k é um inteiro. Aqui k é uma variável inteira arbitrária que serve para parametrizar todos os ímpares.

Passo 3

Substituímos \,n=2k+1, em \,n^{2}-1 e expandimos para ver a estrutura do número:
n^{2}-1 = (2k+1)^{2}-1.
Calculando o quadrado,
(2k+1)^{2} = 4k^{2}+4k+1,
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n^{2}-1 = 4k^{2}+4k+1 - 1 = 4k^{2}+4k.

Passo 4

Fatoramos 4k^{2}+4k para evidenciar fatores de 2:
4k^{2}+4k = 4(k^{2}+k) = 4\bigl(k(k+1)\bigr).
Ou seja, n^{2}-1 = 4\cdot k(k+1).

Passo 5

Agora observe a expressão k(k+1). Ela é o produto de dois inteiros consecutivos. Entre dois inteiros consecutivos um deles é necessariamente par, portanto o produto k(k+1) é um número par. Em termos de divisibilidade, isso significa que existe um inteiro m tal que
k(k+1) = 2m.

Passo 6

Substituindo k(k+1)=2m na expressão de n^{2}-1 obtemos
n^{2}-1 = 4\cdot k(k+1) = 4\cdot (2m) = 8m.
Isso mostra que n^{2}-1 é múltiplo de 8, ou seja, 8 divide n^{2}-1.

Passo 7

Comentário final e exemplo para fixar: para n=5 (ímpar), temos n^{2}-1=25-1=24 e 24 é múltiplo de 8. Para n=7, n^{2}-1=48, também múltiplo de 8. A razão geral é precisamente a fatoração e o fato de que entre k e k+1 há um número par, garantindo o fator extra 2 além do 4 já presente.

Resposta

Para todo inteiro ímpar n, 8 \mid (n^{2}-1).

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