89 Prove que
é divisível por 8 se n é ímpar.(Falta a Solução)
Passo 1
O enunciado pede que demonstremos que, se
é um número inteiro ímpar, então
é divisível por
.
Informações dadas e objetivo claros:
Informações dadas e objetivo claros:
- Dado:
é ímpar (ou seja, um inteiro da forma ). - Provar: que
divide , isto é, .
Passo 2
Vamos representar um inteiro ímpar de forma padrão para poder manipular algebricamente.
Qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como
Qualquer inteiro ímpar pode ser escrito como
onde
é um inteiro. Aqui
é uma variável inteira arbitrária que serve para parametrizar todos os ímpares.
Passo 3
Substituímos
, em
e expandimos para ver a estrutura do número:
Calculando o quadrado,
logo
Passo 4
Fatoramos
para evidenciar fatores de
:
Ou seja,
.
Passo 5
Agora observe a expressão
. Ela é o produto de dois inteiros consecutivos. Entre dois inteiros consecutivos um deles é necessariamente par, portanto o produto
é um número par. Em termos de divisibilidade, isso significa que existe um inteiro
tal que
Passo 6
Substituindo
na expressão de
obtemos
Isso mostra que
é múltiplo de
, ou seja,
divide
.
Passo 7
Comentário final e exemplo para fixar: para
(ímpar), temos
e
é múltiplo de
. Para
,
, também múltiplo de
. A razão geral é precisamente a fatoração e o fato de que entre
e
há um número par, garantindo o fator extra
além do
já presente.
Resposta
Para todo inteiro ímpar
,
.