2.80 Suponha que A e B sejam unitárias. Mostre que A^H, A^-1 e A B são unitárias.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes unitárias. Por definição, uma matriz M é unitária se e somente se
M^HM = I,
onde M^H é a transposta conjugada de M. Além disso, uma consequência é que M^-1=M^H. Vamos usar essa definição para cada parte.

Passo 2

Mostrar que A^H é unitária.
Calculemos
l(A^Hr)^H A^H = A,A^H
Como A é unitária, A^HA=I e também AA^H=I. Logo
l(A^Hr)^H A^H = I,
ou seja, A^H satisfaz a condição de ser unitária.

Passo 3

Mostrar que A^-1 é unitária.
Primeiro note que l(A^-1r)^H=(A^H)^-1. Então
l(A^-1r)^H,A^-1 =(A^H)^-1A^-1 =l(A,A^Hr)^-1 =I^-1 =I,
pois A,A^H=I. Assim A^-1 é unitária.

Passo 4

Mostrar que AB é unitária.
Usando as propriedades do transposto conjugado,
(AB)^H(AB)=B^HA^HAB
Como A^HA=I, isso se reduz a
B^HI,B=B^HB=I,
já que B também é unitária. Portanto AB é unitária.

Resposta

A^H, A^-1 e AB são unitárias.

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