2.80 Suponha que
e
sejam unitárias. Mostre que
e
são unitárias.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes unitárias. Por definição, uma matriz
é unitária se e somente se
onde
é a transposta conjugada de
. Além disso, uma consequência é que
. Vamos usar essa definição para cada parte.
Passo 2
Mostrar que
é unitária.
Calculemos
Calculemos
Como
é unitária,
e também
. Logo
ou seja,
satisfaz a condição de ser unitária.
Passo 3
Mostrar que
é unitária.
Primeiro note que . Então
Primeiro note que
pois
. Assim
é unitária.
Passo 4
Mostrar que
é unitária.
Usando as propriedades do transposto conjugado,
Usando as propriedades do transposto conjugado,
Como
, isso se reduz a
já que
também é unitária. Portanto
é unitária.