Verifique se W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V nos seguintes casos.
V=R^3 e W=(x, y, z) in R^3 mid x é um número inteiro .

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=R^3 e o conjunto
W=(x,y,z)inR^3 mid xinZ
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, usamos o critério clássico:
  1. Wneqvarnothing (ou seja, contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar por qualquer alphainR.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero 0=(0,0,0) pertence a W. Como a primeira coordenada é 0 e 0inZ, temos 0in W. Logo, W não é vazio.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob adição. Tomemos
v=(x1,y1,z1)in W, u=(x2,y2,z2)in W
Pelo fato de x1,x2inZ, a soma
v+u=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
tem primeira coordenada x1+x2inZ. Portanto v+uin W.

Passo 4

Verificamos a multiplicação escalar. Se v=(x,y,z)in W e alphainR, então
alpha v=(alpha x,;alpha y,;alpha z)
Para alpha v pertencer a W, precisaríamos de alpha xinZ para todo alphainR. Mas isso não vale em geral. Por exemplo, para x=1 e alpha=tfrac12 obtemos alpha x=tfrac12notinZ, logo alpha vnotin W. Assim, W não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de V.

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