Verifique se
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
nos seguintes casos.
e
é um número inteiro
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o conjunto
Queremos verificar se
é subespaço de
. Para isso, usamos o critério clássico:
-
(ou seja, contém o vetor zero). -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação escalar por qualquer .
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Como a primeira coordenada é
e
, temos
. Logo,
não é vazio.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob adição. Tomemos
Pelo fato de
, a soma
tem primeira coordenada
. Portanto
.
Passo 4
Verificamos a multiplicação escalar. Se
e
, então
Para
pertencer a
, precisaríamos de
para todo
. Mas isso não vale em geral. Por exemplo, para
e
obtemos
, logo
. Assim,
não é fechado sob multiplicação escalar.