Seja o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 sobre . Seja a transformação linear definida por
Ache uma base e a dimensão do núcleo de T, e uma base e dimensão da imagem de T.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais, especificamente o espaço das matrizes quadradas 2x2 sobre os números reais. A transformação linear T está definida por T(A) = A cdot M - M cdot A , onde M = 1 & 2 0 & 3 . Nosso objetivo é encontrar uma base e a dimensão do núcleo de T (Ker( T )) e da imagem de T (Im( T )). Para isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear, núcleo, imagem, e como encontrar bases e dimensões desses espaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de T , denotado por Ker( T ), é o conjunto de todas as matrizes A em V tais que T(A) = 0 . Ou seja, estamos procurando todas as matrizes A que satisfazem a equação:
A cdot M - M cdot A = 0
Isso nos leva à condição comutativa entre A e M .
Passo 3
Vamos escrever uma matriz genérica A de ordem 2:
A = a & b c & d
Agora, vamos calcular A cdot M e M cdot A :
A cdot M = a & b c & d 1 & 2 0 & 3 = a cdot 1 + b cdot 0 & a cdot 2 + b cdot 3 c cdot 1 + d cdot 0 & c cdot 2 + d cdot 3 = a & 2a + 3b c & 2c + 3d
M cdot A = 1 & 2 0 & 3 a & b c & d = 1 cdot a + 2 cdot c & 1 cdot b + 2 cdot d 0 cdot a + 3 cdot c & 0 cdot b + 3 cdot d = a + 2c & b + 2d 3c & 3d
Passo 4
Agora, igualamos A cdot M a M cdot A :
a & 2a + 3b c & 2c + 3d = a + 2c & b + 2d 3c & 3d
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
a = a + 2c ⟹ 2c = 0 ⟹ c = 0
2a + 3b = b + 2d ⟹ 2a + 2b - 2d = 0 ⟹ a + b - d = 0
c = 3c ⟹ 0 = 3 cdot 0 (já satisfeita, já que c = 0 )
2c + 3d = 3d (também satisfeita, pois c = 0 )
Passo 5
Das equações acima, temos que c = 0 e a + b - d = 0 . Vamos resolver para expressar algumas variáveis em função das outras:
d = a + b
Assim, podemos escolher a e b como parâmetros livres. Vamos expressar A em termos de a e b :
A = a & b 0 & a + b = a 1 & 0 0 & 1 + b 0 & 1 0 & 1
Portanto, uma base para o núcleo de T é formada pelas matrizes:
1 & 0 0 & 1 , 0 & 1 0 & 1
E a dimensão de Ker( T ) é 2.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a imagem de T , ou seja, todos os resultados possíveis de T(A) . Sabemos que a imagem de T é o conjunto de todas as matrizes T(A) = A cdot M - M cdot A .
Usando as expressões que já calculamos:
T(A) = a & 2a + 3b c & 2c + 3d - a + 2c & b + 2d 3c & 3d = -2c & 2a + 3b - b - 2d c - 3c & 2c + 3d - 3d = -2c & 2a + 2b - 2d -2c & 2c