Sejam A, B, C inteiros positivos tais que B C divide A-B-C. Mostre que B C divide A^n-B^n-C^n para todo n >= 1.
9) Para todo inteiro positivo n vale que
2^2^n+3^2^n+5^2^n
é divisível por 19 .

Passo 1

Temos duas afirmações a provar:
  1. Sejam A,B,C inteiros positivos tais que BC divide A - B - C. Provar que, para todo inteiro n>=1, também vale
BC mid A^n - B^n - C^n
  1. Para todo inteiro positivo n, mostrar que
2^2^n + 3^2^n + 5^2^n
é divisível por 19.

Passo 2

Prova da primeira afirmação. Note que a condição BCmid A - B - C equivale a
A equiv B + C pmodBC
Queremos então mostrar por indução em n que
A^n - B^n - C^n equiv 0 pmodBC
Base n=1: de fato A^1 - B^1 - C^1 = A - B - C é múltiplo de BC por hipótese.

Passo 3

Passo indutivo. Suponha que para um k>=1 já saibamos
A^k - B^k - C^k equiv 0 pmodBC
Então, usando Aequiv B+CpmodBC, temos
A^k+1 equiv (B+C)^k+1 =sumi=0^k+1binomk+1iB^iC^,k+1-i pmodBC
Ao subtrair B^k+1+C^k+1, restam só os termos onde 1<= i<= k, e cada um desses contém o fator B^iC^,k+1-i com i>=1 e k+1-i>=1. Logo cada termo restante é múltiplo de BC. Assim
A^k+1-B^k+1-C^k+1equiv0pmodBC,
concluindo a indução.

Passo 4

Portanto, para todo n>=1 vale
BCmid A^n - B^n - C^n

Passo 5

Prova da segunda afirmação. Queremos mostrar que
é múltiplo de . Pela pequena teorema de Fermat, para qualquer não divisível por vale
Logo depende apenas de . Como é par para todo , o expoente mod pertence ao ciclo
que tem período . Portanto a sequência
é periódica de período divisor de . Assim
também é periódica de período . Basta verificar os primeiros valores de .

Passo 6

Cálculo direto módulo 19:
Para n=1, 2^n=2:
2^2+3^2+5^2 =4+9+25=38equiv0pmod19
Para n=2, 2^n=4:
2^4+3^4+5^4=16+81+625equiv16+5+17=38equiv0pmod19
Para n=3, 2^n=8:
2^8+3^8+5^8=256+6561+390625equiv9+6+4=19equiv0pmod19
Os casos n=4,5,6 repetem-se por periodicidade de 2^nbmod18, e dão de novo soma congruente a 0.

Resposta

  1. Para quaisquer inteiros positivos com , vale
  1. Para todo inteiro ,
é divisível por .

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