80 ee Una cuerda pesada de longitud 5 m y masa 4 kg se encuentra sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Un extremo se conecta a un bloque de 6 kg . En el otro extremo de la cuerda se aplica una fuerza horizontal constante de 100 N. (a) ¿Cuál es la aceleración del sistema? (b) Expresar la tensión de la cuerda en función de su posición a lo largo de ésta.

Passo 1

O enunciado fornece uma corda de comprimento L=5,m e massa mr=4,kg apoiada sem atrito sobre uma mesa. Um extremo está preso a um bloco de massa mb=6,kg e no outro extremo aplica-se uma força horizontal constante F=100,N. Pede-se
  • (a) a aceleração do conjunto;
  • (b) a tensão T(x) ao longo da corda.
Para (a) vamos aplicar a 2ª lei de Newton ao sistema total; para (b) vamos usar a 2ª lei num elemento infinitesimal da corda.

Passo 2

Massa total do sistema (bloco + corda):
mrm tot=mb + mr = 6 + 4 = 10 kg
Pela segunda lei de Newton, a aceleração comum é
a=Fmrm tot=10010=10 m/s^2

Passo 3

A densidade linear de massa da corda é
lambda=mrL=45=0,8 kg/m

Passo 4

Definimos x a partir do ponto onde a força F é aplicada (extremo livre), de modo que em x a tensão seja T(x). Considere um trecho infinitesimal de comprimento dx: as forças horizontais nele são T(x) para a direita e T(x+dx) para a esquerda. Aplicando a 2ª lei ao trecho,
T(x)-T(x+dx)=lambda,dx;!a
No limite dxto0,
-dTdx=lambda,a Longrightarrow dTdx=-lambda,a

Passo 5

Integramos de 0 a x, sabendo que T(0)=F:
T(x)=F-integral0^xlambda,a,dx =F-lambda,a,x =100-(0,8)(10),x =100-8,x(N),0<= x<=5

Resposta

(a) 10 m/s^2
(b) T(x)=100-8,x N

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