89 ©SM Tenemos una máquina de Atwood y un conjunto de pesos cuya masa total es M , y se tienen instrucciones de fijar algunos pesos a un lado de la máquina y el resto al otro. Si m1 representa la masa colocada al lado izquierdo y m2 la masa colocada al lado derecho, la tensión en la cuerda viene dada por la expresión
T=2 m1 m2m1+m2 g
como ya se ha probado en el problema 85. Demostrar que la tensión será máxima cuando m1=m2=M / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá uma máquina de Atwood com massa total fixa M. Colocamos massa m1 de um lado e m2 do outro, de modo que
m1+m2=M
e a tensão na corda vale
T=2,m1m2m1+m2,g
Queremos mostrar que, sob a restrição m1+m2=M, essa tensão atinge valor máximo quando
m1=m2=M2

Passo 2

Como m2=M-m1, substituímos em T para obter uma função de uma única variável m1:
T(m1) =2,m1(M-m1)M,g =2gMl(M,m1-m1^2r)
Note que é uma parábola voltada para baixo, pois o coeficiente de m1^2 é negativo.

Passo 3

Para encontrar o vértice dessa parábola, calculamos a derivada e igualamos a zero:
T'(m1) =2gMl(M-2m1r) Longrightarrow M-2m1=0 Longrightarrow m1=M2

Passo 4

Como T'(m1) muda de positivo para negativo ao passar por m1=M/2, esse ponto é de máximo. Logo
m1=M2 e m2=M-m1=M2

Resposta

A tensão T é máxima quando
m1=m2=M2

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