e Se sube un objeto de masa m con una cuerda de masa M y de longitud L sujeta desde uno de sus extremos. La cuerda y el objeto se aceleran en la dirección vertical con aceleración a. La distribución de la masa en la cuerda es uniforme. Demostrar que la tensión en la cuerda a una distancia x(<L) por encima del bloque es (a+g)[m+(x / L) M].

Passo 1

Resumimos el enunciado: un objeto de masa m cuelga de una cuerda de masa total M y longitud L, con densidad lineal uniforme. Todo el conjunto acelera hacia arriba con aceleración a. Queremos hallar la tensión T(x) en la cuerda a una distancia x (con 0<= x<= L) por encima del bloque. Para ello usaremos la densidad lineal de masa y la segunda ley de Newton aplicada al tramo de cuerda más el bloque.

Passo 2

La densidad lineal de la cuerda es
lambda = ML,
El tramo de cuerda de longitud x tiene masa
mrm cuerda(x)=lambda,x=ML,x
Así, la masa total del sistema formado por el bloque más ese tramo de cuerda es
mrm total = m + ML,x

Passo 3

Aplicamos la segunda ley de Newton al sistema “bloque + tramo de cuerda” bajo el corte en x. Las fuerzas externas son la tensión T(x) hacia arriba y el peso hacia abajo:
T(x) - l(m + tfracMLxr),g = l(m + tfracMLxr),a

Passo 4

Despejamos T(x):
T(x) = l(m + tfracMLxr),a + l(m + tfracMLxr),g = (a+g)l(m + xL,Mr)

Resposta

T(x) = (a + g)l(m + xL,Mr)

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