800 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de vapor de água a 200^{\circ} \mathrm{C} e 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} são comprimidos de 50 até 800 kPa em um compressor, em estado estacionário. Após o compressor o vapor se encontra a 400^{\circ} \mathrm{C} e sua velocidade é de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo-se que nesse processo ocorre a perda de 5 kW de calor para a vizinhança, determine a potência requerida pelo processo. Imagine que esse compressor tenha uma eficiência de 80 \% e determine também qual seria a quantidade de potência requerida num processo ideal.

Passo 1

O problema trata de um compressor em regime estacionário, recebendo vapor de água a T_{1}=200\\ ^\circ\mathrm{C}, p_{1}=50\\ \mathrm{kPa}, velocidade V_{1}=15\\ \mathrm{m/s} e vazão volumétrica de 800\\ \mathrm{m^3/h}. Na saída temos T_{2}=400\\ ^\circ\mathrm{C}, p_{2}=800\\ \mathrm{kPa}, V_{2}=4\\ \mathrm{m/s} e há uma perda de calor de 5\\ \mathrm{kW} para o meio.
Conteúdo da matéria: primeira lei da termodinâmica para regime permanente (sistemas abertos) e conceito de eficiência de compressor.
O que vamos precisar: vazão mássica, entalpias na entrada e saída h_1,h_2 de vapor, contribuição de energia cinética e balanço de energia.

Passo 2

Calcular a vazão mássica \dot m.
A vazão volumétrica é
\dot V = 800\\ \mathrm{m^3/h} = \frac{800}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} \approx 0{,}2222\\ \mathrm{m^3/s}.
No ponto 1, a água é vapor superaquecido a p_{1}=50\\ \mathrm{kPa} e T_{1}=200\\ ^\circ\mathrm{C}. Pela tabela de vapor assume-se
v_{1}\approx4{,}37\\ \mathrm{m^3/kg}.
Logo
\dot m = \frac{\dot V}{v_{1}} \approx \frac{0{,}2222}{4{,}37} \approx0{,}0509\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Obter as entalpias e a variação de energia cinética por unidade de massa:
pela tabela de vapor superaquecido:
h_{1}\approx2869{,}9\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h_{2}\approx3262{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
A variação de energia cinética é
\Delta\Bigl(\tfrac{V^2}{2}\Bigr) =\frac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2} =\frac{4^{2}-15^{2}}{2} =-104{,}5\\ \mathrm{m^2/s^2} =-0{,}1045\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 4

Escrever o balanço de energia na forma
\dot Q_{\mathrm{in}} -\dot W_{\mathrm{by}} +\dot m\Bigl(h_{1}+\tfrac{V_{1}^{2}}{2}\Bigr) =\dot m\Bigl(h_{2}+\tfrac{V_{2}^{2}}{2}\Bigr).
Aqui \dot W_{\mathrm{by}} é o trabalho feito pelo fluido; queremos o trabalho no eixo do compressor, \dot W_{\mathrm{in}}=-\dot W_{\mathrm{by}}.
A perda de 5\\ \mathrm{kW} de calor significa \dot Q_{\mathrm{in}}=-5\\ \mathrm{kW}.
Rearranjando para \dot W_{\mathrm{in}}:
\dot W_{\mathrm{in}} =\dot m\Bigl(h_{2}-h_{1}+\Delta\bigl(\tfrac{V^2}{2}\bigr)\Bigr) -\dot Q_{\mathrm{in}}.

Passo 5

Substituindo os valores:
h_{2}-h_{1}=3262{,}7-2869{,}9=392{,}8\\ \mathrm{kJ/kg},
\dot m\,(h_{2}-h_{1})=0{,}0509\times392{,}8\approx19{,}98\\ \mathrm{kW},
\dot m\,\Delta\bigl(\tfrac{V^2}{2}\bigr) =0{,}0509\times(-0{,}1045)\approx-0{,}0053\\ \mathrm{kW},
\dot W_{\mathrm{in}} =19{,}98 - 0{,}0053 -(-5) \approx19{,}98 +5 -0{,}005 \approx24{,}97\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Definindo eficiência do compressor como
\eta_{c} =\frac{W_{\mathrm{ideal}}}{W_{\mathrm{real}}},
com \eta_{c}=0{,}80 e W_{\mathrm{real}}=\dot W_{\mathrm{in}}.
Logo o trabalho ideal (mínimo teórico de um processo isentrópico reversível sem perda de calor) é
W_{\mathrm{ideal}} =\eta_{c}\,\dot W_{\mathrm{in}} =0{,}80\times24{,}97 \approx19{,}98\\ \mathrm{kW}.

Resposta

Potência requerida pelo compressor (real):
\boxed{24{,}97\\ \mathrm{kW}}
Potência requerida em um processo ideal (80 % de eficiência):
\boxed{19{,}98\\ \mathrm{kW}}

Exercícios relacionados