Um processo é formado por duas etapas: (1) Um mol de ar a \mathrm{T}=500 \mathrm{~K} e \mathrm{P}=3 bar é comprimido adiabaticamente até que sua pressão quadruplique; (2) O ar é então resfriado a pressão constante até sua temperatura atingir 500 K . Se esse processo em duas etapas for substituido por um única expansão isotérmica do ar de 500 K e 3 bar para alguma pressão final P , qual é o valor de P que faz o trabalho ser o mesmo nos dois processos? Considere reversibilidade mecânica e o ar com comportamento de gás ideal \operatorname{com~} \mathrm{Cv}=(5 / 2) \mathrm{R} e \mathrm{Cp}=(7 / 2) \mathrm{R}.

Passo 1

O enunciado descreve um mol de ar ideal que sofre duas etapas reversíveis:
  1. Compressão adiabática de \mathrm{T}_{1}=500\\ \mathrm{K}, \mathrm{P}_{1}=3\\ \mathrm{bar} até \mathrm{P}_{2}=4\mathrm{P}_{1}=12\\ \mathrm{bar}.
  2. Resfriamento isobárico em \mathrm{P}_{2}=12\\ \mathrm{bar} até que a temperatura volte a 500\\ \mathrm{K}.
    Queremos substituir esse ciclo por uma única expansão isotérmica reversível a T=500\\ \mathrm{K} de \mathrm{P}_{1}=3\\ \mathrm{bar} para uma pressão final P_f, de modo que o trabalho da expansão isotérmica tenha o mesmo valor (em módulo) do trabalho total dos dois passos originais. Usaremos comportamento de gás ideal com
C_v=\tfrac{5}{2}R,\qquad C_p=\tfrac{7}{2}R,\qquad \gamma=\frac{C_p}{C_v}=\frac{7}{5}=1{,}4.

Passo 2

Calcular a temperatura final \mathrm{T}_{2} após a compressão adiabática, usando
T_{2} = T_{1} \Bigl(\frac{P_{2}}{P_{1}}\Bigr)^{\tfrac{\gamma-1}{\gamma}} = 500\\ \mathrm{K}\times 4^{\tfrac{0{,}4}{1{,}4}} \approx 500\times 4^{0{,}2857}\approx 743{,}2\\ \mathrm{K}.

Passo 3

O trabalho realizado pelo gás na compressão adiabática é
W_{1} = n\,C_{v}\,(T_{1}-T_{2}) = 1\cdot \tfrac{5}{2}R\,(500-743{,}2) = \tfrac{5}{2}R\,(-243{,}2) = -608\,R.
Em unidade de energia:
W_{1} =-608\times 8{,}314\\ \mathrm{J} \approx -5055\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Na etapa de resfriamento isobárico até T_{3}=500\\ \mathrm{K}, a pressão é P_{2}=12\\ \mathrm{bar}=1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Os volumes inicial e final são
V_{2}=\frac{nRT_{2}}{P_{2}},\quad V_{3}=\frac{nRT_{3}}{P_{2}},
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V_{2} =\frac{8{,}314\times743{,}2}{1{,}2\times10^{6}} \approx0{,}005149\\ \mathrm{m}^{3}, \quad V_{3} =\frac{8{,}314\times500}{1{,}2\times10^{6}} \approx0{,}003464\\ \mathrm{m}^{3}.
O trabalho pelo gás nessa etapa é
W_{2} = P_{2}\,(V_{3}-V_{2}) =1{,}2\times10^{6}\,(-0{,}001685) \approx -2022\\ \mathrm{J}.

Passo 5

O trabalho total dos dois passos (pelo gás) é
W_{\text{tot}} = W_{1}+W_{2} \approx -5055\\ \mathrm{J} \;+\; (-2022\\ \mathrm{J}) = -7077\\ \mathrm{J}.
Em módulo, \lvert W_{\text{tot}}\rvert=7077\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Para a expansão isotérmica reversível a T=500\\ \mathrm{K} de \mathrm{P}_{1}=3\\ \mathrm{bar} até P_f, o trabalho pelo gás é
W_{\text{iso}} = nRT\ln\!\biggl(\frac{V_{f}}{V_{1}}\biggr) = nRT\ln\!\biggl(\frac{P_{1}}{P_{f}}\biggr).

Passo 7

Impondo igualdade em módulo dos trabalhos:
nRT\ln\!\biggl(\frac{P_{1}}{P_{f}}\biggr) = \lvert W_{\text{tot}}\rvert = 7077\\ \mathrm{J}.
Substituindo n=1, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}, T=500\\ \mathrm{K}:
8{,}314\times500\;\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{P_{f}}\Bigr) =7077 \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl(\tfrac{3}{P_{f}}\Bigr) =\frac{7077}{4157} \approx1{,}702.
Então
\frac{3}{P_{f}} =e^{1{,}702}\approx5{,}48 \quad\Longrightarrow\quad P_{f} =\frac{3}{5{,}48}\approx0{,}547\\ \mathrm{bar}.

Resposta

P_{f}\approx0{,}55\\ \mathrm{bar}

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