1.4 i Um círculo centrado na origem e com raio de 2 unidades pertence ao plano x y. Determine o vetor unitário, em componentes cartesianos, que pertence ao plano x y, é tangente ao círculo em (-\sqrt{3}, 1,0) e está na direção e no sentido dos valores crescentes de y.

Passo 1

O enunciado diz que temos o círculo de raio 2, centrado na origem, no plano xy. Precisamos achar o vetor unitário, em componentes cartesianas, que (i) está no plano xy, (ii) é tangente ao círculo no ponto \bigl(-\sqrt{3},1,0\bigr) e (iii) aponta no sentido de y crescente.

Passo 2

Uma forma de descrever o círculo é por
\mathbf r(t) = \bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;0\bigr).
No ponto dado temos
2\cos t = -\sqrt{3},\quad 2\sin t = 1 \quad\Longrightarrow\quad \cos t = -\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;\sin t = \tfrac12,
que corresponde a t = 5\pi/6.

Passo 3

O vetor velocidade (tangente) é
\mathbf r'(t) = \bigl(-2\sin t,\;2\cos t,\;0\bigr).
Em t=5\pi/6 temos
\mathbf r'\bigl(5\pi/6\bigr) = \bigl(-2\cdot\tfrac12,\;2\cdot(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}),\;0\bigr) = (-1,\,-\sqrt{3},\,0).
Mas esse vetor tem componente y negativa, e queremos sentido de y crescente. Então tomamos o oposto:
\mathbf v = -\,\mathbf r'\bigl(5\pi/6\bigr) = (1,\;\sqrt{3},\;0).

Passo 4

Agora basta normalizar \mathbf v. Seu módulo é
\|\mathbf v\| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2.
O vetor unitário é, portanto,
\frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|} = \Bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;0\Bigr).

Resposta

\bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;0\bigr).

Exercícios relacionados