3-87 It is said that Archimedes discovered his principle during a bath while thinking about how he could determine if King Hiero’s crown was actually made of pure gold. While in the bathtub, he conceived the idea that he could determine

112 FLUID MECHANICS

the average density of an irregularly shaped object by weighing it in air and also in water. If the crown weighed 3.20 kgf (=31.4 \mathrm{~N}) in air and 2.95 \mathrm{kgf}(=28.9 \mathrm{~N}) in water, determine if the crown is made of pure gold. The density of gold is 19,300 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Discuss how you can solve this problem without weighing the crown in water but by using an ordinary bucket with no calibration for volume. You may weigh anything in air.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a coroa é de ouro maciço e também para discutir um método prático que não exija medir volume com equipamento calibrado (apenas pesagem em ar é permitida). Dados fornecidos:
  • Peso aparente da coroa no ar: 3{,}20\\ \text{kgf} (o enunciado indica que isso equivale a 31{,}4\\ \text{N}).
  • Peso aparente da coroa na água: 2{,}95\\ \text{kgf} (o enunciado indica que isso equivale a 28{,}9\\ \text{N}).
  • Densidade do ouro puro: \rho_{\text{ouro}}=19\,300\\ \text{kg}/\text{m}^3.
    Perguntas explícitas:
  1. Determinar se a coroa é feita de ouro puro usando os dados de pesagem no ar e na água.
  2. Explicar como realizar o teste sem pesar a coroa na água, usando somente um balde comum sem calibração de volume, sabendo que podemos pesar qualquer coisa em ar.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Massa, peso e gravidade: a massa m (em kg) e o peso W (força, em N) estão relacionados por
W = m g,
onde g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}81\\ \text{m/s}^2). Em unidades usuais, 1\\ \text{kgf} é a força peso de 1\\ \text{kg} sob g e vale aproximadamente 9{,}81\\ \text{N}.
  • Densidade: a densidade \rho de um corpo é
\rho = \frac{m}{V},
onde V é o volume do corpo.
  • Princípio de Arquimedes (essencial aqui): um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo para cima igual ao peso do volume de fluido deslocado. Em fórmula,
F_B = \rho_{\text{fluido}}\, V\, g,
onde F_B é o empuxo (em N), \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (para água doce, usualmente \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg}/\text{m}^3á) e V é o volume do corpo.
  • Relação prática entre pesagens: a perda aparente de peso quando o objeto é imerso (peso em ar menos peso aparente na água) é exatamente o empuxo. Assim
F_B = W_{\text{ar}} - W_{\text{água}}.á
Com essas fórmulas conseguimos, a partir das pesagens, obter F_B, daí V e finalmente \rho_{\text{coroa}}.

Passo 3

Calcular o empuxo a partir das pesagens dadas (uso os valores em Newtons fornecidos pelo enunciado):
F_B = W_{\text{ar}} - W_{\text{água}} = 31{,}4\\ \text{N} - 28{,}9\\ \text{N} = 2{,}5\\ \text{N}.á
Observação prática: em unidades de kgf a diferença seria 3{,}20-2{,}95=0{,}25\\ \text{kgf}, e 0{,}25\\ \text{kgf}\times 9{,}81\\ \text{N/kgf}\approx 2{,}45\\ \text{N}; como o enunciado já deu as conversões 31{,}4 e 28{,}9\\ \text{N}, uso 2{,}5\\ \text{N} (arredondamento consistente com os dados).

Passo 4

Determinar o volume da coroa a partir do empuxo usando a fórmula do empuxo. Isolando V em
F_B = \rho_{\text{água}}\, V\, gá
obtemos
V = \frac{F_B}{\rho_{\text{água}}\, g}.á
Substituindo F_B=2{,}5\\ \text{N}, \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg}/\text{m}^3á e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2,
V = \frac{2{,}5}{1000\cdot 9{,}81}=\frac{2{,}5}{9810}\\ \text{m}^3 \approx 0{,}00025485\\ \text{m}^3.
Explicando a conta: 1000\cdot 9{,}81=9810; dividir 2{,}5 por 9810 dá aproximadamente 2{,}5485\times 10^{-4}\\ \text{m}^3, ou 254{,}85\\ \text{cm}^3.

Passo 5

Determinar a massa da coroa a partir do peso no ar. O enunciado deu a pesagem em kgf: 3{,}20\\ \text{kgf}, o que significa que a massa é m=3{,}20\\ \text{kg} (pois 1\\ \text{kgf} é o peso de 1\\ \text{kg} sob g). Alternativamente, usando os valores em Newtons:
m = \frac{W_{\text{ar}}}{g} = \frac{31{,}4}{9{,}81}\\ \text{kg} \approx 3{,}200\\ \text{kg}.
Portanto m=3{,}20\\ \text{kg}.

Passo 6

Calcular a densidade da coroa com \rho = m/V:
\rho_{\text{coroa}} = \frac{3{,}20}{0{,}00025485}\\ \text{kg}/\text{m}^3 \approx 12\,560\\ \text{kg}/\text{m}^3.
Detalhe do cálculo: 3{,}20 / 2{,}5485\times 10^{-4} \approx 1{,}2556\times 10^{4}\\ \text{kg}/\text{m}^3. Arredondando de forma razoável, \rho_{\text{coroa}}\approx 12{,}560\\ \text{kg}/\text{m}^3.

Passo 7

Comparar com a densidade do ouro puro:
\rho_{\text{ouro}}=19\,300\\ \text{kg}/\text{m}^3,\qquad \rho_{\text{coroa}}\approx 12\,560\\ \text{kg}/\text{m}^3.
Conclusão: a coroa tem densidade muito menor que a do ouro maciço; portanto, com estes dados, a coroa não é de ouro puro.

Passo 8

Discussão prática: como fazer o teste sem pesar a coroa submersa diretamente, usando um balde comum sem calibração de volume, supondo que posso pesar qualquer coisa em ar. Dois procedimentos simples (ambos usam somente pesagens em ar):
Método A — método do transbordamento (o clássico de Arquimedes):
  1. Encha o balde até a borda (deixe transbordar para garantir nível exatamente na borda).
  2. Coloque um recipiente vazio para coletar o que transbordar (esse recipiente ficará fora da água e pode ser pesado em ar).
  3. Com a coroa suspensa por um fio (sem tocar o balde), mergulhe totalmente a coroa no balde; o excesso de água transbordará para o recipiente coletor.
  4. Retire a coroa; pese em ar a massa da água transbordada (ou pese o coletor antes e depois para obter a massa da água transbordada).
  5. A massa da água transbordada é exatamente a massa de água deslocada m_{\text{água,deslocada}}á. O volume da coroa é então
V = \frac{m_{\text{água,deslocada}}}{\rho_{\text{água}}}.áá
  1. Pese a coroa em ar para obter sua massa m (já feita). Calcule \rho_{\text{coroa}}=m/V e compare com \rho_{\text{ouro}}.
    Comentário: aqui não precisa saber volume do balde; pesa-se apenas a água deslocada em ar.
Método B — método da leitura do balde na balança:
  1. Pese o balde com água (antes de submergir) numa balança (em ar) e anote W_{\text{balde,antes}}.
  2. Suspenda a coroa por um fio que não toque a balança nem o balde.
  3. Mergulhe totalmente a coroa na água; a leitura da balança do balde aumentará — esse aumento de peso \Delta W é igual ao empuxo F_B (porque o empuxo se manifesta como força extra para baixo sobre o recipiente).
  4. Pese também a coroa em ar para obter sua massa m.
  5. Obtenha o volume:
V=\frac{\Delta W}{\rho_{\text{água}}\, g},á
e então \rho_{\text{coroa}}=m/V.
Comentário: também não é necessário saber volume calibrado do balde; só é necessário que a balança meça o aumento causado pelo empuxo (e a coroa não toque no balde).

Passo 9

Observações finais e dicas de prova:
  • Tenha cuidado para a coroa ficar totalmente submersa e não tocar o fundo ou as paredes do recipiente; isso altera as forças.
  • Use água à temperatura ambiente e \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg}/\text{m}^3á salvo instrução em contrário.
  • Meça massa da água deslocada de forma direta (método A) ou meça o aumento de peso do balde (método B); ambos requerem apenas pesagens em ar.
  • No problema numérico aqui a massa de água deslocada é aproximadamente m_{\text{água,deslocada}}=F_B/g\approx 2{,}5/9{,}81\approx 0{,}2549\\ \text{kg}á (ou 254{,}9\\ \text{g}), valor grande o suficiente para ser medido com uma balança doméstica razoável.

Resposta

Densidade da coroa \approx 12\,560\\ \text{kg}/\text{m}^3.\nNão — a coroa não é de ouro maciço (a densidade do ouro puro é 19\,300\\ \text{kg}/\text{m}^3).

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