6.85 •• Uma bomba deve elevar 800 kg de água por minuto de um poço com profundidade de 14,0 \mathrm{~m} e despejá-la com velocidade de 18,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Qual é o trabalho realizado por minuto para elevar a água? (b) Qual é o trabalho realizado para fornecer a energia cinética da água quando ela é despejada? (c) Qual é a potência de saída da bomba?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
  • Água sendo elevada à razão de \,800\\ \mathrm{kg}\, por minuto.
  • Profundidade do poço (altura que a água sobe): \,14,0\\ \mathrm{m}\,.
  • Velocidade de saída da água ao ser despejada: \,18,0\\ \mathrm{m/s}\,.
  • Perguntas:
    (a) Qual é o trabalho realizado por minuto para elevar a água (trabalho contra a gravidade)?
    (b) Qual é o trabalho por minuto para fornecer a energia cinética da água na saída?
    (c) Qual é a potência de saída da bomba (energia por unidade de tempo)?

Passo 2

Entendendo o trabalho para elevar a massa: quando se eleva massa contra a gravidade o trabalho necessário é igual ao aumento de energia potencial gravitacional. A fórmula é
W_{\text{elevação}} = m\,g\,h,çã
onde:
  • W_{\text{elevação}}çã é o trabalho (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa elevada (em quilogramas, \mathrm{kg});
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}); usaremos \,g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}\,;
  • h é a altura (em metros, \mathrm{m}).
Agora substituímos os números fornecidos (tudo por minuto, então m=800\\ \mathrm{kg} corresponde à massa elevada em um minuto):
g\cdot h = 9,80 \times 14,0 = 137,2.
Multiplicando por m:
W_{\text{elevação}} = 800 \times 137,2 = 109760\\ \mathrm{J}.çã
Dica de conta sem calculadora: 9,80\times14,0=(98\times14)/10=1372/10=137,2. Depois 137,2\times800 = 137,2\times8\times100 = 1097,6\times100 = 109760.

Passo 3

Entendendo o trabalho para dar energia cinética: para acelerar um bloco de massa m até velocidade v a energia necessária é a energia cinética
K = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde:
  • K é a energia cinética (em \mathrm{J});
  • m é a massa (em \mathrm{kg});
  • v é a velocidade (em \mathrm{m/s}).
Substituindo os valores dados (novamente por minuto, m=800\\ \mathrm{kg} e v=18,0\\ \mathrm{m/s}):
v^{2} = 18{,}0^{2} = 324.
K = \tfrac{1}{2}\times800\times324 = 400\times324 = 129600\\ \mathrm{J}.
Observação prática: 18^{2}=(20-2)^{2}=400-80+4=324, e \tfrac{1}{2}\times800=400.

Passo 4

Agora somamos as duas energias obtidas por minuto para ter o trabalho total por minuto realizado pela bomba:
W_{\text{total por minuto}} = W_{\text{elevação}} + K = 109760 + 129600 = 239360\\ \mathrm{J}.çã
A potência é a energia por unidade de tempo. Como as quantidades que calculamos estão por minuto, convertemos para segundos (1 minuto = 60 s) para obter potência em watts ( 1\\ \mathrm{W}=1\\ \mathrm{J/s}):
P = \frac{W_{\text{total por minuto}}}{60} = \frac{239360}{60}\\ \mathrm{J/s}.
Agora fazemos a divisão (pode-se dividir por 6 e ajustar por fator 10): 239360/60 = 3989{,}333\ldots\\ \mathrm{W}.
É comum expressar potência em quilowatts:
P \approx 3{,}99\times10^{3}\\ \mathrm{W} = 3{,}99\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Resumo dos resultados numéricos (valores calculados; arredondamentos mantidos com três algarismos significativos quando apropriado):
  • Trabalho por minuto para elevar a água: 109760\\ \mathrm{J} (aprox. 1{,}10\times10^{5}\\ \mathrm{J}).
  • Trabalho por minuto para a energia cinética da água: 129600\\ \mathrm{J} (aprox. 1{,}30\times10^{5}\\ \mathrm{J}).
  • Potência de saída da bomba: 3989{,}33\\ \mathrm{W} (aprox. 3{,}99\\ \mathrm{kW}).

Resposta

(a) 1{,}0976\times10^{5}\\ \mathrm{J}
(b) 1{,}2960\times10^{5}\\ \mathrm{J}
(c) 3{,}989{,}3\\ \times10^{3}\\ \mathrm{W}

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