6.88 • CALC Um objeto é submetido à ação de diversas forças. Uma dessas forças é dada por overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\alpha x y \hat{\imath}, uma força ao longo do eixo x cujo módulo depende da posição do objeto, sendo \alpha=2,50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. Calcule o trabalho realizado por essa força para os seguintes deslocamentos do objeto:
o objeto começa a se deslocar no ponto (x=0, y=3,00 \mathrm{~m}) e se move paralelamente ao eixo x até o ponto ( x=2,00 \mathrm{~m}, y=3,00 \mathrm{~m} ).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma resposta clara:
  • A força que age sobre o objeto é \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=\alpha x y \,\hat{\imath}.
  • O valor de \alpha é \alpha=2,50\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}.
  • O objeto começa em (x=0,\;y=3{,}00\\ \mathrm{m}) e se desloca paralelamente ao eixo x até (x=2{,}00\\ \mathrm{m},\;y=3{,}00\\ \mathrm{m}).
  • O que é pedido: calcular o trabalho realizado por essa força durante esse deslocamento.

Passo 2

Lembrando o conceito-chave que vamos usar: o trabalho realizado por uma força variável ao longo de um caminho é dado pela integral de linha do produto escalar da força pelo deslocamento infinitesimal. Em forma matemática:
W=\int_{\mathcal{C}}\overrightarrow{\boldsymbol{F}}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{r}}.
Aqui:
  • \overrightarrow{\boldsymbol{F}} é a força em cada ponto do caminho;
  • d\overrightarrow{\boldsymbol{r}} é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho;
  • o produto escalar \overrightarrow{\boldsymbol{F}}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{r}} pega a componente da força ao longo do deslocamento.
Explicação do produto escalar de forma simples: se \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=(F_x,F_y,F_z) e d\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=(dx,dy,dz) então
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz.
No nosso caso a força tem só componente em x.

Passo 3

Identificar a parametrização do caminho e as componentes envolvidas:
  • O deslocamento é paralelo ao eixo x e ocorre a y=3{,}00\\ \mathrm{m} constante. Portanto ao longo do caminho temos dy=0 e y=3{,}00\\ \mathrm{m} para todo x.
  • O vetor deslocamento infinitesimal é d\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=dx\,\hat{\imath} (porque só varia x).
  • A componente x da força é F_x=\alpha x y. Então ao longo do caminho, com y constante, F_x=\alpha x (3{,}00).

Passo 4

Montar a integral do trabalho usando o produto escalar:
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}\cdot d\overrightarrow{\boldsymbol{r}}=F_x\,dx=\alpha x y \,dx.
Como y é constante igual a 3{,}00\\ \mathrm{m} e x varia de 0 a 2{,}00\\ \mathrm{m}, a integral do trabalho fica
W=\int_{x=0}^{x=2{,}00}\alpha x y\,dx.

Passo 5

Fazer a integral passo a passo, tirando constantes fora da integral:
W=\alpha y \int_{0}^{2{,}00} x\,dx.
Calcule a integral simples:
\int_{0}^{2{,}00} x\,dx=\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2{,}00}=\dfrac{(2{,}00)^{2}}{2}-0=\dfrac{4{,}00}{2}=2{,}00.
Logo
W=\alpha y \cdot 2{,}00.

Passo 6

Substituir os valores numéricos e avaliar unidades:
\alpha=2{,}50\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2},\qquad y=3{,}00\\ \mathrm{m}.
Portanto
W=2{,}00\cdot(2{,}50\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2})\cdot(3{,}00\\ \mathrm{m}).
Multiplicando os números e simplificando unidades:
W=2{,}00\times 2{,}50\times 3{,}00\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} = 15{,}0\\ \mathrm{J}.
Observação rápida (útil para prova): o resultado tem unidade \mathrm{N}\cdot\mathrm{m} que é Joule ( \mathrm{J}), como esperado para trabalho.

Resposta

15{,}0\\ \mathrm{J}

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