6.88 • CALC Um objeto é submetido à ação de diversas forças. Uma dessas forças é dada por
, uma força ao longo do eixo
cujo módulo depende da posição do objeto, sendo
. Calcule o trabalho realizado por essa força para os seguintes deslocamentos do objeto:
o objeto começa a se deslocar no ponto
e se move paralelamente ao eixo
até o ponto (
).
o objeto começa a se deslocar no ponto
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma resposta clara:
- A força que age sobre o objeto é
. - O valor de
é . - O objeto começa em
e se desloca paralelamente ao eixo até . - O que é pedido: calcular o trabalho realizado por essa força durante esse deslocamento.
Passo 2
Lembrando o conceito-chave que vamos usar: o trabalho realizado por uma força variável ao longo de um caminho é dado pela integral de linha do produto escalar da força pelo deslocamento infinitesimal. Em forma matemática:
Aqui:
-
é a força em cada ponto do caminho; -
é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho; - o produto escalar
pega a componente da força ao longo do deslocamento.
Explicação do produto escalar de forma simples: se
e
então
No nosso caso a força tem só componente em
.
Passo 3
Identificar a parametrização do caminho e as componentes envolvidas:
- O deslocamento é paralelo ao eixo
e ocorre a constante. Portanto ao longo do caminho temos e para todo . - O vetor deslocamento infinitesimal é
(porque só varia ). - A componente
da força é . Então ao longo do caminho, com constante, .
Passo 4
Montar a integral do trabalho usando o produto escalar:
Como
é constante igual a
e
varia de
a
, a integral do trabalho fica
Passo 5
Fazer a integral passo a passo, tirando constantes fora da integral:
Calcule a integral simples:
Logo
Passo 6
Substituir os valores numéricos e avaliar unidades:
Portanto
Multiplicando os números e simplificando unidades:
Observação rápida (útil para prova): o resultado tem unidade
que é Joule (
), como esperado para trabalho.