(85) Considere os subespaços U, W do \mathbb{R}^{3} definidos por:
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=x=z\right\} \text { e } W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=0\right\}
Mostre que \mathbb{R}^{3}=U \oplus W.
(86) Considere os subespaços U, W do \mathbb{R}^{3} definidos por:
U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=0\right\} \text { e } W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=0\right\}
É possível afirmar que \mathbb{R}^{3}=U \oplus W ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\R^3 = U\oplus W
em dois casos diferentes de subespaços U,W\subset\R^3. Lembrando que, por definição,
U\oplus W\;=\;U+W
se, e somente se,
  1. U+W=\R^3 (todo vetor de \R^3 se escreve como soma u+w com u\in U, w\in W),
  2. U\cap W=\{(0,0,0)\} (a interseção é só o vetor nulo).

Passo 2

(Exercício 85) Primeiro mostramos que U+W=\R^3. Seja um vetor arbitrário (a,b,c)\in\R^3. Queremos escrevê-lo como
(a,b,c) = (t,t,t) + (x,y,0),
onde (t,t,t)\in U e (x,y,0)\in W. Isso dá o sistema
\begin{cases} t + x = a,\\\ t + y = b,\\\ t = c. \end{cases}

Passo 3

Do terceiro item obtemos t=c. Substituindo em cima,
x = a - c, \quad y = b - c.
Como a,b,c eram arbitrários, sempre existe essa decomposição, logo U+W=\R^3.

Passo 4

Ainda no exercício 85, verificamos a interseção: se um vetor (t,t,t)\in U também está em W, então sua terceira coordenada deve ser zero, isto é t=0. Assim
U\cap W = \{(0,0,0)\}.
Como U+W=\R^3 e U\cap W=\{0\}, concluímos
\R^3 = U \oplus W.

Passo 5

(Exercício 86) Agora U=\{(0,y,z)\} e W=\{(x,0,z)\}. Mostramos primeiro que U+W=\R^3. Dado (a,b,c), escrevemos
(a,b,c) = (0,u,v) + (w,0,z),
com (0,u,v)\in U e (w,0,z)\in W. Isso basta resolver
w = a,\quad u = b,\quad v + z = c,
o que sempre é possível para qualquer a,b,c.

Passo 6

Porém a interseção não é trivial:
U\cap W = \{(0,0,z)\mid z\in\R\},
que contém todos os vetores da forma (0,0,z). Logo
U\cap W \neq \{(0,0,0)\},
e portanto não temos soma direta.

Resposta

(85) \displaystyle \R^3 = U\oplus W.
(86) Não: embora U+W=\R^3, temos U\cap W=\{(0,0,z)\mid z\in\R\}\neq\{0\}, então \R^3\neq U\oplus W.

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