Faça o que se pede em cada item:
Mostre que 1, \cos (2 x) \in \operatorname{ger}\left[\operatorname{sen}{ }^{2} x, \cos ^{2} x\right].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções 1 e \cos(2x) pertencem ao subespaço gerado por \sin^2 x e \cos^2 x. Em outras palavras, precisamos encontrar coeficientes reais a e b tais que cada uma dessas funções seja uma combinação linear de \sin^2 x e \cos^2 x. Vamos usar identidades trigonométricas básicas para isso.

Passo 2

Para provar que 1\in\ger[\sin^2 x,\cos^2 x], usamos a identidade de Pitágoras:
\sin^2 x + \cos^2 x = 1.
Isso mostra imediatamente que
1 = 1\cdot\sin^2 x + 1\cdot\cos^2 x,
ou seja, basta tomar a=b=1 na combinação linear.

Passo 3

Para provar que \cos(2x)\in\ger[\sin^2 x,\cos^2 x], usamos a identidade de ângulo duplo:
\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x.
Logo,
\cos(2x) = (-1)\cdot\sin^2 x + 1\cdot\cos^2 x,
isto é, toma-se a=-1 e b=1.

Resposta

As expressões que mostram a inclusão são:
(a) 1 = \sin^2 x + \cos^2 x.
(b) \cos(2x) = -\sin^2 x + \cos^2 x.
Portanto, 1,\cos(2x)\in\ger[\sin^2 x,\cos^2 x].

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