Em cada item a seguir, determine os subespaços U \cap W, U+W de um espaço vetorial V e o conjunto de geradores de cada subespaço encontrado:
V=\mathbb{R}^{2}, U=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y=0\right\} e W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=2 y\right\}

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o espaço vetorial
V = \mathbb{R}^2,
e os subespaços
U = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=0\}, \quad W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=2y\}.
O objetivo é determinar os subespaços U \cap W e U+W e exibir um conjunto de geradores para cada um.

Passo 2

Para achar U \cap W, impomos simultaneamente as condições
\;y=0 (de U) e \;x=2y (de W). Substituindo y=0 em x=2y obtém-se x=0. Logo o único vetor comum é (0,0). Assim chegamos a
U \cap W = \{(0,0)\}

Passo 3

O subespaço \{(0,0)\} é o subespaço trivial, que pode ser gerado pelo próprio vetor nulo. Um conjunto de geradores é
\{(0,0)\}

Passo 4

Para U+W, tomamos um vetor genérico u\in U e w\in W:
u = (a,0), \quad w = (2b,b), \quad a,b\in\mathbb{R}.
A soma é
u+w = (a,0)+(2b,b) = (a+2b,\;b).

Passo 5

Para ver que isso gera todo \mathbb{R}^2, dado (x,y) basta escolher b=y e a = x-2y. Assim
U + W = \mathbb{R}^2.
Além disso, como
U = \mathrm{span}\{(1,0)\}, \quad W = \mathrm{span}\{(2,1)\},
segue que
U + W = \mathrm{span}\{(1,0),(2,1)\}.

Resposta

U \cap W = \{(0,0)\}, geradores: \{(0,0)\}.
U + W = \mathbb{R}^2, geradores: \{(1,0),(2,1)\}.

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