Verifique se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial real M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) : I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as matrizes
I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix}
geram o espaço vetorial real M_{2\times2}(\mathbb{R}).
Como \dim M_{2\times2}(\mathbb{R})=4, basta mostrar que qualquer matriz \displaystyle X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}
pode ser obtida como combinação linear de I,A,B,C.
Passo 2
Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R} tais que
\alpha I + \beta A + \gamma B + \delta C = \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}.
E daí determinamos \beta,\gamma,\alpha de forma única.
Passo 4
Como para qualquer (x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}) existe solução real (\alpha,\beta,\gamma,\delta), as matrizes I,A,B,C geram todo M_{2\times2}(\mathbb{R}). Além disso, a solução única mostra que elas são linearmente independentes, logo formam uma base.
Resposta
As matrizes I,A,B,C geram M_{2\times2}(\mathbb{R}) e de fato formam uma base desse espaço.