Verifique se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial real M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) : I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix}
geram o espaço vetorial real M_{2\times2}(\mathbb{R}).
Como \dim M_{2\times2}(\mathbb{R})=4, basta mostrar que qualquer matriz
\displaystyle X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}
pode ser obtida como combinação linear de I,A,B,C.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R} tais que
\alpha I + \beta A + \gamma B + \delta C = \begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}.
Calculando a combinação, obtemos
\alpha\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&1\end{pmatrix} +\delta\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha+\beta & \beta+\delta\\\ \gamma+\delta & \alpha+\gamma+2\delta \end{pmatrix}.
Isso gera o sistema de equações
\begin{cases} \alpha + \beta = x_{11},\\\ \beta + \delta = x_{12},\\\ \gamma + \delta = x_{21},\\\ \alpha + \gamma + 2\delta = x_{22}. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem
\beta = x_{12} - \delta.
Da terceira,
\gamma = x_{21} - \delta.
Substituindo na primeira,
\alpha = x_{11} - \beta = x_{11} - (x_{12}-\delta) = x_{11}-x_{12}+\delta.
Por fim, a quarta equação fica
(x_{11}-x_{12}+\delta) + (x_{21}-\delta) + 2\delta = x_{22} \;\Longrightarrow\; 2\delta = x_{22}-x_{11}+x_{12}-x_{21},
ou seja
\delta = \frac{x_{22}-x_{11}+x_{12}-x_{21}}{2}.
E daí determinamos \beta,\gamma,\alpha de forma única.

Passo 4

Como para qualquer (x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}) existe solução real (\alpha,\beta,\gamma,\delta), as matrizes I,A,B,C geram todo M_{2\times2}(\mathbb{R}). Além disso, a solução única mostra que elas são linearmente independentes, logo formam uma base.

Resposta

As matrizes I,A,B,C geram M_{2\times2}(\mathbb{R}) e de fato formam uma base desse espaço.

Exercícios relacionados