Considere o espaço vetorial V=\mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}). Fixada a função g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, mostre que o conjunto F_{1}=\{f \in \mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}) \mid f(g(x))=f(x)\} é um subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}).
(82) Mostre que o conjunto das funções contínuas \mathcal{C}([a, b], \mathbb{R}) tais que
\int_{a}^{b} f(x) d x=0
é um subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
\displaystyle V=\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R})
e pede para mostrar que dois conjuntos são subespaços de V:
1)
\displaystyle F_{1}=\{\,f\in V\mid f(g(x))=f(x)\\ \forall x\in\mathbb{R}\}
para uma função fixa g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R};
2)
\displaystyle U=\bigl\{\,f\in\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})\mid \int_{a}^{b}f(x)\,dx=0\bigr\}.
Usaremos o teste de subespaço: conter a função zero e fechar-se sob combinações lineares.

Passo 2

Mostramos que F_{1} contém a função zero f_{0}(x)=0, pois
f_{0}(g(x))=0=f_{0}(x)\quad\forall x.
Sejam agora f,h\in F_{1} e \alpha,\beta\in\mathbb{R}. Então, para todo x,
(\alpha f + \beta h)(g(x)) =\alpha\,f(g(x))+\beta\,h(g(x)) =\alpha\,f(x)+\beta\,h(x) =(\alpha f + \beta h)(x).
Logo \alpha f+\beta h\in F_{1}.
Como F_{1} não é vazio, contém a função zero e fecha-se sob combinações lineares, concluímos que F_{1} é subespaço vetorial de V.

Passo 3

Definimos
U = \Bigl\{f\in\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}) \mid \int_{a}^{b}f(x)\,dx=0\Bigr\}.
A função zero satisfaz \int_{a}^{b}0\,dx=0, então 0\in U. Se f,h\in U e \alpha,\beta\in\mathbb{R}, pela linearidade da integral:
\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta h(x))\,dx =\alpha\int_{a}^{b}f(x)\,dx +\beta\int_{a}^{b}h(x)\,dx =0+0 =0,
portanto \alpha f+\beta h\in U.
Como U contém a função zero e fecha-se sob combinações lineares, concluímos que U é subespaço vetorial de \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).

Resposta

F_{1} e U são subespaços vetoriais de \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).

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