Considere o espaço vetorial
. Fixada a função
, mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
(82) Mostre que o conjunto das funções contínuas
tais que
é um subespaço vetorial de
.
(82) Mostre que o conjunto das funções contínuas
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e pede para mostrar que dois conjuntos são subespaços de :
1)
para uma função fixa ;
2)
Usaremos o teste de subespaço: conter a função zero e fechar-se sob combinações lineares.
e pede para mostrar que dois conjuntos são subespaços de
1)
para uma função fixa
2)
Usaremos o teste de subespaço: conter a função zero e fechar-se sob combinações lineares.
Passo 2
Mostramos que
contém a função zero
, pois
Sejam agora
e
. Então, para todo
,
Logo
.
Como não é vazio, contém a função zero e fecha-se sob combinações lineares, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Como
Passo 3
Definimos
A função zero satisfaz
, então
. Se
e
, pela linearidade da integral:
portanto
.
Como contém a função zero e fecha-se sob combinações lineares, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Como