1.85 Seja x<0 e considere os vetores u=2 x i+2 x j+x k, v=x i-2 x+2 x k e w=2 x i-x j-2 x k. Mostre que u, v, w é uma base ortogonal negativa. Determine o(s) valor(es) x que torna(m) a base ortonormal e, em seguida, encontre as coordenadas do vetor a=i-2 j-3 k nessa base ortonormal.

Passo 1

O enunciado diz que, para x<0, temos os vetores
vec u=2x,vec i+2x,vec j+x,vec k,
vec v=x,vec i-2x,vec j+2x,vec k e
vec w=2x,vec i -x,vec j-2x,vec k.
Precisamos mostrar que vec u,vec v,vec w é uma base ortogonal negativa, depois achar x tal que ela seja ortonormal e, por fim, calcular as coordenadas de
vec a=vec i-2vec j-3vec k nessa base ortonormal.

Passo 2

Verificamos a ortogonalidade calculando os produtos internos:
vec ucdotvec v =(2x)(x)+(2x)(-2x)+(x)(2x) =2x^2-4x^2+2x^2=0,
vec ucdotvec w =(2x)(2x)+(2x)(-x)+(x)(-2x) =4x^2-2x^2-2x^2=0,
vec vcdotvec w =(x)(2x)+(-2x)(-x)+(2x)(-2x) =2x^2+2x^2-4x^2=0
Logo, os três são mutuamente ortogonais.

Passo 3

Para ver que a base é de orientação negativa, calculamos o produto misto
vec ucdot(vec vtimesvec w). Note que cada componente de vec u,vec v,vec w é proporcional a x, logo o produto misto será proporcional a x^3. Como x<0, o sinal desse produto misto é o de x^3, isto é, negativo. Portanto a base é negativa.

Passo 4

Calculamos agora as normas:
|vec u|^2=(2x)^2+(2x)^2+(x)^2=4x^2+4x^2+x^2=9x^2,
|vec v|^2=x^2+(-2x)^2+(2x)^2=x^2+4x^2+4x^2=9x^2,
|vec w|^2=(2x)^2+(-x)^2+(-2x)^2=4x^2+x^2+4x^2=9x^2
Logo |vec u|=|vec v|=|vec w|=3|x|.

Passo 5

Para que a base seja ortonormal, precisamos de |vec u|=|vec v|=|vec w|=1. Como cada norma vale 3|x|, impõe-se
3|x|=1 Longrightarrow |x|=tfrac13
Como queremos x<0, fica
x=-tfrac13

Passo 6

Denotemos a base ortonormal por
vec e1=vec u|vec u|, vec e2=vec v|vec v|, vec e3=vec w|vec w|,
com x=-tfrac13. As coordenadas de
vec a=vec i-2vec j-3vec k são
alphai=vec acdotvec ei. Calculamos primeiro os produtos internos com os vetores não normalizados, usando x=-tfrac13:
vec acdotvec u =(1)(2x)+(-2)(2x)+(-3)(x) =2x-4x-3x=-5x.
Como |vec u|=3|x|=-3x,
alpha1 =vec acdotvec u|vec u| =-5x-3x =53
vec acdotvec v =(1)(x)+(-2)(-2x)+(-3)(2x) =x+4x-6x=-x.
Logo
alpha2 =-x-3x =13
vec acdotvec w =(1)(2x)+(-2)(-x)+(-3)(-2x) =2x+2x+6x=10x.
Portanto
alpha3 =10x-3x =-103

Resposta

O(s) valor(es) de x que tornam a base ortonormal é(são)
x=-tfrac13
Nessa base ortonormal, as coordenadas de vec a são
l(alpha1,alpha2,alpha3r) =l(tfrac53,;tfrac13,;-tfrac103r)

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