1.85 Seja
e considere os vetores
e
. Mostre que
é uma base ortogonal negativa. Determine o(s) valor(es)
que torna(m) a base ortonormal e, em seguida, encontre as coordenadas do vetor
nessa base ortonormal.
Passo 1
O enunciado diz que, para
, temos os vetores
,
e
.
Precisamos mostrar que é uma base ortogonal negativa, depois achar
tal que ela seja ortonormal e, por fim, calcular as coordenadas de
nessa base ortonormal.
Precisamos mostrar que
Passo 2
Verificamos a ortogonalidade calculando os produtos internos:
Logo, os três são mutuamente ortogonais.
Passo 3
Para ver que a base é de orientação negativa, calculamos o produto misto
. Note que cada componente de
é proporcional a
, logo o produto misto será proporcional a
. Como
, o sinal desse produto misto é o de
, isto é, negativo. Portanto a base é negativa.
Passo 4
Calculamos agora as normas:
Logo
.
Passo 5
Para que a base seja ortonormal, precisamos de
. Como cada norma vale
, impõe-se
Como queremos
, fica
Passo 6
Denotemos a base ortonormal por
com
. As coordenadas de
são
. Calculamos primeiro os produtos internos com os vetores não normalizados, usando
:
Como
Logo
Portanto
Resposta
O(s) valor(es) de
que tornam a base ortonormal é(são)
Nessa base ortonormal, as coordenadas de
são