91 Prove que se ac|bc então a|b. (Solução)
Passo 1
O enunciado pede que provemos a seguinte afirmação: dado
inteiros (assumimos inteiros porque divisibilidade costuma ser definida nesse conjunto) com
, se
então
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Condição extra necessária (que vou explicitar):
(cancelamento por
só faz sentido quando
não é zero). Não foram fornecidos outros dados.
Passo 2
Vamos lembrar a definição de divisibilidade — isto é fundamental para a prova. Dizemos que um inteiro
divide um inteiro
(escrevemos
) se existe um inteiro
tal que
Aqui
é chamado quociente inteiro associado. Essa é a única coisa que usamos sobre divisibilidade: existência de um inteiro que multiplica o divisor para dar o divisível.
Passo 3
Aplicando a definição ao dado
, existe um inteiro
tal que
Escrevi a existência de
explicitamente porque é disso que vive a prova: transformar a afirmação divisível em uma equação com um inteiro.
Passo 4
Agora vamos manipular a equação obtida. Da equação anterior temos
Passando tudo para um lado:
Fatorando
(fator comum) obtemos
Aqui usamos apenas a distributividade (fácil e elementar):
.
Passo 5
Usamos uma propriedade elementar dos inteiros: se
e
são inteiros e
e
, então necessariamente
. Aplicando essa propriedade à igualdade do Passo 4 (com
) e lembrando que assumimos
, obtemos
Portanto
Como
é inteiro (vem do Passo 3), isto mostra exatamente, pela definição de divisibilidade, que
divide
.
Passo 6
Comentário pedagógico curto sobre o caso
: se
então
e
, a afirmação “
” fica problemática dependendo da convenção (divisibilidade por zero costuma não ser permitida). Por isso é natural e necessário assumir
. Com essa hipótese a prova acima é completa.