91 Prove que se ac|bc então a|b. (Solução)

Passo 1

O enunciado pede que provemos a seguinte afirmação: dado a,b,c inteiros (assumimos inteiros porque divisibilidade costuma ser definida nesse conjunto) com c\neq0, se \;ac\mid bc\; então \;a\mid b\;.\n
Informações dadas:
ac\mid bc.
Condição extra necessária (que vou explicitar): \;c\neq0\; (cancelamento por c só faz sentido quando c não é zero). Não foram fornecidos outros dados.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de divisibilidade — isto é fundamental para a prova. Dizemos que um inteiro m divide um inteiro n (escrevemos m\mid n) se existe um inteiro q tal que
n = mq.
Aqui q é chamado quociente inteiro associado. Essa é a única coisa que usamos sobre divisibilidade: existência de um inteiro que multiplica o divisor para dar o divisível.

Passo 3

Aplicando a definição ao dado \;ac\mid bc\;, existe um inteiro k tal que
bc = (ac)k.
Escrevi a existência de k explicitamente porque é disso que vive a prova: transformar a afirmação divisível em uma equação com um inteiro.

Passo 4

Agora vamos manipular a equação obtida. Da equação anterior temos
bc = a c k.
Passando tudo para um lado:
bc - a c k = 0.
Fatorando c (fator comum) obtemos
c\bigl(b - a k\bigr)=0.
Aqui usamos apenas a distributividade (fácil e elementar): c(b-ak)=cb-cak.

Passo 5

Usamos uma propriedade elementar dos inteiros: se c e x são inteiros e c x = 0 e c\neq0, então necessariamente x=0. Aplicando essa propriedade à igualdade do Passo 4 (com x=b-ak) e lembrando que assumimos c\neq0, obtemos
b - a k = 0.
Portanto
b = a k.
Como k é inteiro (vem do Passo 3), isto mostra exatamente, pela definição de divisibilidade, que a divide b.

Passo 6

Comentário pedagógico curto sobre o caso c=0: se c=0 então ac=0 e bc=0, a afirmação “ ac\mid bc” fica problemática dependendo da convenção (divisibilidade por zero costuma não ser permitida). Por isso é natural e necessário assumir c\neq0. Com essa hipótese a prova acima é completa.

Resposta

a\mid b

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