88-1-1 Dados os fontos A=(0,0,1) ; B=(1,2,1) ; C=(1,0,1). Calcule as equaçẽs paramétricas das bissetrizes interna e externa do triang<= A B C, relativas ao vérice C. R:l interna: x=1-lambda ; y=lambda ; z=1 (lambda in R) externa: x=1+lambda ; y=lambda ; z=1 (lambda in R)

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo em R^3:
A=(0,0,1), B=(1,2,1), C=(1,0,1)
e pede as equações paramétricas das bissetrizes interna e externa do ângulo em C.
Conteúdo: uso de vetores, norma, versores e a fórmula das bissetrizes de um ângulo em termos de versores das arestas.

Passo 2

Formamos os vetores que partem de C até os outros vértices:
CA=A-C=(0-1,;0-0,;1-1)=(-1,0,0),
CB=B-C=(1-1,;2-0,;1-1)=(0,2,0)

Passo 3

Calculamos as normas e os versores desses vetores:
|CA|=1, |CB|=2,
uCA=CA|CA|=(-1,0,0), uCB=CB|CB|=(0,1,0)

Passo 4

A bissetriz interna de um ângulo formado por vetores u1 e u2 parte de sua origem na direção
dint=uCA+uCB=(-1,0,0)+(0,1,0)=(-1,1,0)
Logo a equação paramétrica da bissetriz interna em C=(1,0,1) é
(x,y,z)=(1,0,1)+lambda,(-1,1,0),
ou seja
x=1-lambda, y=lambda, z=1

Passo 5

A bissetriz externa corresponde à direção
dext=uCB-uCA=(0,1,0)-(-1,0,0)=(1,1,0)
A partir de C isso dá
(x,y,z)=(1,0,1)+lambda,(1,1,0),
isto é
x=1+lambda, y=lambda, z=1

Resposta

Interna: x=1-lambda,;y=lambda,;z=1 com lambdainR.
Externa: x=1+lambda,;y=lambda,;z=1 com lambdainR.

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