88-1-1 Dados os fontos . Calcule as equaçẽs paramétricas das bissetrizes interna e externa do , relativas ao vérice .
Passo 1
O enunciado dá os vértices do triângulo em :
e pede as equações paramétricas das bissetrizes interna e externa do ângulo em .
Conteúdo: uso de vetores, norma, versores e a fórmula das bissetrizes de um ângulo em termos de versores das arestas.
Passo 2
Formamos os vetores que partem de até os outros vértices:
CB=B-C=(1-1,;2-0,;1-1)=(0,2,0)
Passo 3
Calculamos as normas e os versores desses vetores:
|CA|=1, |CB|=2,
uCA=CA|CA|=(-1,0,0), uCB=CB|CB|=(0,1,0)
Passo 4
A bissetriz interna de um ângulo formado por vetores u1 e u2 parte de sua origem na direção
dint=uCA+uCB=(-1,0,0)+(0,1,0)=(-1,1,0)
Logo a equação paramétrica da bissetriz interna em C=(1,0,1) é
(x,y,z)=(1,0,1)+lambda,(-1,1,0),
ou seja
x=1-lambda, y=lambda, z=1
Passo 5
A bissetriz externa corresponde à direção
dext=uCB-uCA=(0,1,0)-(-1,0,0)=(1,1,0)
A partir de C isso dá
(x,y,z)=(1,0,1)+lambda,(1,1,0),
isto é
x=1+lambda, y=lambda, z=1
Resposta
Interna: x=1-lambda,;y=lambda,;z=1 com lambdainR.
Externa: x=1+lambda,;y=lambda,;z=1 com lambdainR.