Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left{ rx+2 y-3 z+2 t=2 2 x+5 y-8 z+6 t=5 3 x+4 y-5 z+2 t=4,\right.),

Passo 1

Temos um sistema linear de três equações com quatro incógnitas
x + 2y - 3z + 2t = 2, 2x + 5y - 8z + 6t = 5, 3x + 4y - 5z + 2t = 4
O método de Gauss–Jordan nos leva a reduzir a matriz aumentada até a forma escalonada reduzida, identificar as variáveis-pivô e as livres, obter a solução geral e, então, classificar o sistema (se é incompatível, único ou indeterminado).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
[cccc|c 1 & 2 & -3 & 2 & 2 2 & 5 & -8 & 6 & 5 3 & 4 & -5 & 2 & 4 ]

Passo 3

Eliminamos x em R2 e R3 usando R1:
R2 R2 - 2R1, R3 R3 - 3R1.
Isso gera
[cccc|c 1 & 2 & -3 & 2 & 2 0 & 1 & -2 & 2 & 1 0 & -2 & 4 & -4 & -2 ]

Passo 4

Agora eliminamos y em R3 com R2:
R3 R3 + 2R2.
A terceira linha fica totalmente zero, pois dá
[cccc|c 1 & 2 & -3 & 2 & 2 0 & 1 & -2 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 5

Eliminar y em R1 usando R2:
R1 R1 - 2R2.
O resultado em forma escalonada reduzida é
[cccc|c 1 & 0 & 1 & -2 & 0 0 & 1 & -2 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 6

Da matriz reduzida extraímos as equações:
x + z - 2t = 0, y - 2z + 2t = 1
Repare que não há equação envolvendo apenas z ou t, então elas são livres.

Passo 7

Definimos variáveis livres
z = lambda, t = mu.
Das duas equações temos
x = -,lambda + 2mu, y = 1 + 2lambda - 2mu
Logo a solução geral é
(x,y,z,t) = (-lambda + 2mu,;1 + 2lambda - 2mu,;lambda,;mu),
com lambda,muinR.

Resposta

O sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).
A solução geral, usando parâmetros lambda e mu, é
(x,y,z,t) = l(-lambda + 2mu,;1 + 2lambda - 2mu,;lambda,;mur), lambda,muinR

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