8a Questão O custo de produção de um determinado produto é composto pelo custo fixo mais o custo variável. O custo fixo é de C F=3000 reais por dia. O custo variável pode ser aproximado por C V=-100 x+\eta x^{2} reais por unidade do produto. Qual é a função que exprime o custo total do produto? Qual deve ser a produção para que o custo seja mínimo? Se o número de unidades vendidas é inversamente proporcional ao preço e sabe-se que para um preço de \mathrm{R} \ 10,00$ o produto vende 100 unidades por dia, qual é a função que exprime o lucro obtido em função do número de unidades vendidas? Qual deve ser o preço para o maior lucro? Qual é o lucro máximo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
  • Informação 1: o custo fixo diário é C_F = 3000 reais.
  • Informação 2: o custo variável (total em função da produção) é dado por C_V(x) = -100x + \eta x^{2} reais, onde x é o número de unidades produzidas e \eta é uma constante desconhecida.
  • Informação 3: o número de unidades vendidas x é inversamente proporcional ao preço p; e há o dado experimental: para p = 10 reais, vende-se x = 100 unidades por dia.
Perguntas do enunciado (vou responder todas em sequência):
  1. Qual é a função que exprime o custo total do produto?
  2. Qual deve ser a produção para que o custo seja mínimo?
  3. Qual é a função que exprime o lucro obtido em função do número de unidades vendidas?
  4. Qual deve ser o preço para obter o maior lucro?
  5. Qual é o lucro máximo?
A partir daqui começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Construir a função do custo total C(x).
  • Conceito rápido (aula de bolso): o custo total é a soma do custo fixo com o custo variável. O custo fixo não depende de x; o custo variável depende de x.
  • Aplicando ao caso: C(x)=C_F + C_V(x).
  • Substituindo C_F = 3000 e C_V(x) = -100x + \eta x^{2} obtemos a função do custo total: C(x)=3000 - 100x + \eta x^{2}.
Explicação do que cada termo significa:
  • 3000 é o custo que a empresa tem mesmo produzindo zero unidades (aluguel, salários fixos etc.).
  • -100x e \eta x^{2} representam a parte variável que cresce (ou decresce) com a produção; aqui a combinação forma um polinômio quadrático.

Passo 3

Encontrar a produção que minimiza o custo C(x).
  • Observação: C(x) é um polinômio quadrático do tipo \eta x^{2} -100x + 3000.
  • Lembrete/mini-aula: um polinômio quadrático \displaystyle ax^{2}+bx+c tem uma forma de parábola. Se a>0 a parábola abre para cima e existe um mínimo (vértice). Se a<0 abre para baixo e não há mínimo (há máximo). Aqui a=\eta. Para fazermos sentido do “custo mínimo” assumimos \eta>0 (isto é natural: custo variável quadrático costuma ter coeficiente positivo).
  • Fórmula do vértice (mini-aula): a abscissa do vértice da parábola \displaystyle ax^{2}+bx+c é \displaystyle x_v=-\frac{b}{2a}. Isso vem da derivada: \displaystyle \frac{d}{dx}(ax^{2}+bx+c)=2ax+b, igualando a zero dá x=-b/(2a).
  • Aplicando ao nosso caso: a=\eta e b=-100. Logo x_{\text{mín}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-100}{2\eta} = \frac{100}{2\eta} = \frac{50}{\eta}.í
  • Interpretação: a produção que minimiza o custo é \displaystyle x=\frac{50}{\eta} unidades (desde que \eta>0).

Passo 4

Determinar a relação entre preço p e quantidade vendida x (constante de proporcionalidade).
  • Dado: x é inversamente proporcional a p. Isso significa que existe uma constante k tal que x = \frac{k}{p}.
  • Usando o ponto dado: para p=10 obtém-se x=100. Substituindo: 100 = \frac{k}{10} \quad\Rightarrow\quad k = 100 \cdot 10 = 1000.
  • Portanto a relação é x=\frac{1000}{p}\quad\text{ou, invertendo,}\quad p=\frac{1000}{x}.
Pequeno comentário conceitual: “inversamente proporcional” significa exatamente que o produto p\cdot x é constante (igual a k), por isso a receita total pode se comportar de maneira especial — veremos a seguir.

Passo 5

Montar a função lucro em função do número de unidades vendidas x.
  • Definição curta: lucro \pi = receita R menos custo C.
  • Receita R é preço por unidade vezes quantidade vendida: R(x)=p(x)\cdot x.
  • Como temos a relação p=\dfrac{1000}{x}, substituímos: R(x)=\frac{1000}{x}\cdot x = 1000.
  • Observação importante (mini-aula): por ser inversamente proporcional do jeito dado, a receita total é constante e igual a 1000 reais para qualquer x compatível com o modelo. Estranho, mas é consequência direta da hipótese.
  • Agora o lucro como função de x: \pi(x)=R(x)-C(x)=1000 - \bigl(3000 -100x +\eta x^{2}\bigr).
  • Simplificando: \pi(x) = -2000 +100x - \eta x^{2}.
  • Interpretação: o lucro é uma função quadrática de x. Note que o termo em x^{2} tem coeficiente -\eta, ou seja, se \eta>0 a parábola de \pi(x) abre para baixo e a função tem um máximo (o que é ótimo para buscar o lucro máximo).

Passo 6

Encontrar a produção x que maximiza o lucro e o preço correspondente.
  • Para maximizar \pi(x) = -\eta x^{2} + 100x -2000 usamos a fórmula do vértice da parábola (mesma ideia do Passo 3). Aqui a=-\eta e b=100.
  • A abscissa do vértice é x_{\text{máx}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2(-\eta)} = \frac{100}{2\eta} = \frac{50}{\eta}.á
  • Interessante: a produção que maximiza o lucro coincide com a produção que minimiza o custo — isso acontece porque a receita é constante (então maximizar lucro é o mesmo que minimizar custo).
  • Preço que dá esse x: usar p=\dfrac{1000}{x}. Substituindo x=\dfrac{50}{\eta} obtemos p_{\text{ópt}} = \frac{1000}{50/\eta} = 1000\cdot\frac{\eta}{50} = 20\eta.ó
  • Interpretação: o preço para obter o maior lucro é \displaystyle p=20\,\eta reais.

Passo 7

Calcular o lucro máximo \pi_{\max}.
  • Podemos calcular \pi_{\max}=\pi\bigl(x_{\text{máx}}\bigr)á substituindo x=\dfrac{50}{\eta} em \pi(x)= -2000 +100x - \eta x^{2}.
  • Substituição passo a passo: 100x = 100\cdot\frac{50}{\eta} = \frac{5000}{\eta},
\eta x^{2} = \eta\cdot\left(\frac{50}{\eta}\right)^{2} = \eta\cdot\frac{2500}{\eta^{2}} = \frac{2500}{\eta}.
  • Assim \pi_{\max} = -2000 + \frac{5000}{\eta} - \frac{2500}{\eta} = -2000 + \frac{2500}{\eta}.
  • Resultado final para o lucro máximo: \pi_{\max} = -2000 + \frac{2500}{\eta}.
Comentário rápido: para \eta>0 esse é realmente um máximo. Se quiser que o lucro máximo seja positivo, precisamos de \displaystyle -2000+\frac{2500}{\eta}>0, o que dá \eta<\frac{2500}{2000}=1{,}25. Mas o enunciado não pedia isso; é só uma observação prática.

Resposta

C(x)=3000-100x+\eta x^{2}
x_{\text{custo mínimo}}=\dfrac{50}{\eta}í
\pi(x)=-2000+100x-\eta x^{2}
p_{\text{para maior lucro}}=20\eta
\pi_{\max}=-2000+\dfrac{2500}{\eta}

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