8a Questão O custo de produção de um determinado produto é composto pelo custo fixo mais o custo variável. O custo fixo é de
reais por dia. O custo variável pode ser aproximado por
reais por unidade do produto. Qual é a função que exprime o custo total do produto? Qual deve ser a produção para que o custo seja mínimo? Se o número de unidades vendidas é inversamente proporcional ao preço e sabe-se que para um preço de
10,00$ o produto vende 100 unidades por dia, qual é a função que exprime o lucro obtido em função do número de unidades vendidas? Qual deve ser o preço para o maior lucro? Qual é o lucro máximo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
- Informação 1: o custo fixo diário é
reais. - Informação 2: o custo variável (total em função da produção) é dado por
reais, onde é o número de unidades produzidas e é uma constante desconhecida. - Informação 3: o número de unidades vendidas
é inversamente proporcional ao preço ; e há o dado experimental: para reais, vende-se unidades por dia.
Perguntas do enunciado (vou responder todas em sequência):
- Qual é a função que exprime o custo total do produto?
- Qual deve ser a produção para que o custo seja mínimo?
- Qual é a função que exprime o lucro obtido em função do número de unidades vendidas?
- Qual deve ser o preço para obter o maior lucro?
- Qual é o lucro máximo?
A partir daqui começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Construir a função do custo total
.
- Conceito rápido (aula de bolso): o custo total é a soma do custo fixo com o custo variável. O custo fixo não depende de
; o custo variável depende de . - Aplicando ao caso:
- Substituindo
e obtemos a função do custo total:
Explicação do que cada termo significa:
-
é o custo que a empresa tem mesmo produzindo zero unidades (aluguel, salários fixos etc.). -
e representam a parte variável que cresce (ou decresce) com a produção; aqui a combinação forma um polinômio quadrático.
Passo 3
Encontrar a produção que minimiza o custo
.
- Observação:
é um polinômio quadrático do tipo . - Lembrete/mini-aula: um polinômio quadrático
tem uma forma de parábola. Se a parábola abre para cima e existe um mínimo (vértice). Se abre para baixo e não há mínimo (há máximo). Aqui . Para fazermos sentido do “custo mínimo” assumimos (isto é natural: custo variável quadrático costuma ter coeficiente positivo). - Fórmula do vértice (mini-aula): a abscissa do vértice da parábola
é . Isso vem da derivada: , igualando a zero dá . - Aplicando ao nosso caso:
e . Logo - Interpretação: a produção que minimiza o custo é
unidades (desde que ).
Passo 4
Determinar a relação entre preço
e quantidade vendida
(constante de proporcionalidade).
- Dado:
é inversamente proporcional a . Isso significa que existe uma constante tal que - Usando o ponto dado: para
obtém-se . Substituindo: - Portanto a relação é
Pequeno comentário conceitual: “inversamente proporcional” significa exatamente que o produto
é constante (igual a
), por isso a receita total pode se comportar de maneira especial — veremos a seguir.
Passo 5
Montar a função lucro em função do número de unidades vendidas
.
- Definição curta: lucro
= receita menos custo . - Receita
é preço por unidade vezes quantidade vendida: - Como temos a relação
, substituímos: - Observação importante (mini-aula): por ser inversamente proporcional do jeito dado, a receita total é constante e igual a
reais para qualquer compatível com o modelo. Estranho, mas é consequência direta da hipótese. - Agora o lucro como função de
: - Simplificando:
- Interpretação: o lucro é uma função quadrática de
. Note que o termo em tem coeficiente , ou seja, se a parábola de abre para baixo e a função tem um máximo (o que é ótimo para buscar o lucro máximo).
Passo 6
Encontrar a produção
que maximiza o lucro e o preço correspondente.
- Para maximizar
usamos a fórmula do vértice da parábola (mesma ideia do Passo 3). Aqui e . - A abscissa do vértice é
- Interessante: a produção que maximiza o lucro coincide com a produção que minimiza o custo — isso acontece porque a receita é constante (então maximizar lucro é o mesmo que minimizar custo).
- Preço que dá esse
: usar . Substituindo obtemos - Interpretação: o preço para obter o maior lucro é
reais.
Passo 7
Calcular o lucro máximo
.
- Podemos calcular
substituindo em . - Substituição passo a passo:
- Assim
- Resultado final para o lucro máximo:
Comentário rápido: para
esse é realmente um máximo. Se quiser que o lucro máximo seja positivo, precisamos de
, o que dá
. Mas o enunciado não pedia isso; é só uma observação prática.