Dadas as funções f e g definidas por :
f(x)=\left{ \begin{array}{c} x^{2}-2 \text { se } x<2 \\ |x-4| \text { se } 2 \leq x \leq 8 \\ -x+4 \text { se } x>8 \end{array}\right. \
g(x)=\left{ \begin{array}{c} \sqrt{x^{2}+16} \text { se } x \leq 0 \\ x^{2} \text { se } x>0 \end{array}\right.
pede-se:
\mathrm{f}(2)-\mathrm{f}(1)+\mathrm{f}(5)

Passo 1

O enunciado dá as funções por partes. Vou reescrever exatamente as definições fornecidas e dizer o que é pedido.
A função f\) é \[f(x)=\begin{cases} x^{2}-2 & \text{se } x<2,\\[4pt] \lvert x-4\rvert & \text{se } 2\le x\le 8,\\[4pt] -x+4 & \text{se } x>8. \end{cases}
A função g\] é \[g(x)=\begin{cases} \sqrt{x^{2}+16} & \text{se } x\le 0,\\[4pt] x^{2} & \text{se } x>0. \end{cases}\] O que o exercício pede é calcular o valor \[f(2)-f(1)+f(5).\] Observação: a definição de \(g foi dada, mas nesta expressão só precisamos de f.]

Passo 2

Primeiro, lembro a ideia básica para avaliar uma função definida por partes: para cada ponto em que queremos o valor, devemos identificar em qual intervalo esse ponto cai e então usar a fórmula correspondente daquele intervalo. Isso é só “ler” a definição por partes e substituir o x pela entrada desejada.
Vou aplicar isso em x=1, x=2 e x=5.

Passo 3

Avaliação de f(1).
Como 1<2, usamos a primeira fórmula f(x)=x^{2}-2. Substituindo x=1 temos
f(1)=1^{2}-2=1-2=-1.
Explicando passo a passo: 1^{2}=1, então 1-2=-1.

Passo 4

Avaliação de f(2).
O ponto x=2 pertence ao intervalo 2\le x\le 8, então usamos a fórmula f(x)=\lvert x-4\rvert.
Lembrete sobre valor absoluto: \lvert a\rvert = a se a\ge 0, e \lvert a\rvert = -a se a<0. Aqui a=x-4.
Substituindo x=2:
f(2)=\lvert 2-4\rvert=\lvert -2\rvert=2.
Porque -2<0, então \lvert -2\rvert = -(-2)=2.

Passo 5

Avaliação de f(5).
O ponto x=5 também está no intervalo 2\le x\le 8, então usamos f(x)=\lvert x-4\rvert.
Substituindo x=5:
f(5)=\lvert 5-4\rvert=\lvert 1\rvert=1.
Aqui 1\ge0, então \lvert 1\rvert=1.

Passo 6

Agora que temos os três valores, montamos a expressão pedida e simplificamos passo a passo:
f(2)-f(1)+f(5)=2-(-1)+1.
Primeiro 2-(-1)=2+1=3, depois 3+1=4. Logo o resultado é 4.

Resposta

4

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