Determine,caso existam,os valores de \lambda \in \mathbb{R} para os quais a equação dada representa uma hipérbole,incluindo o caso degenerado.
(\lambda-1)(\lambda-2) x^{2}+(\lambda-2) y^{2}-2 \lambda(\lambda-2) y=3 \lambda^{2}-\lambda^{3}

Passo 1

O enunciado pede para a família de cônicas
(\lambda-1)(\lambda-2)\,x^{2}+(\lambda-2)\,y^{2}-2\lambda(\lambda-2)\,y \;=\;3\lambda^{2}-\lambda^{3}
ser classificada como hipérbole (incluindo o caso degenerado).
O conteúdo é classificação de cônicas (sem termo xy) usando o discriminante
\Delta \;=\;B'^{2}-4AC,
onde no geral a cônica é
A\,x^{2}+B'\,xy+C\,y^{2}+D\,x+E\,y+F=0.

Passo 2

Primeiro trazemos tudo para um só lado:
(\lambda-1)(\lambda-2)\,x^{2} +(\lambda-2)\,y^{2} -2\lambda(\lambda-2)\,y -\bigl(3\lambda^{2}-\lambda^{3}\bigr) =0.
Identificamos:
A=(\lambda-1)(\lambda-2), \quad B'=0, \quad C=(\lambda-2), \quad D=0, \quad E=-2\lambda(\lambda-2), \quad F=\lambda^{3}-3\lambda^{2}.

Passo 3

O discriminante da parte quadrática é
\Delta =0^{2}-4\,A\,C =-4\,(\lambda-1)(\lambda-2)\,(\lambda-2) =-4(\lambda-2)^{2}(\lambda-1).
Para hipérbole não degenerada precisamos \Delta>0, ou seja
-4(\lambda-2)^{2}(\lambda-1)>0 \;\Longleftrightarrow\; (\lambda-2)^{2}(\lambda-1)<0.
Como (\lambda-2)^{2}\ge0 e só pode ser zero em \lambda=2, a desigualdade reduz-se a
\lambda-1<0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda<1,
descartando \lambda=2 (aí \Delta=0).

Passo 4

Logo, para todo \lambda<1 (e \lambda\neq2, o que já ocorre se \lambda<1) a cônica é hipérbole (não degenerada, salvo exceção que veremos).

Passo 5

Para achar os casos degenerados calculamos o determinante completo da cônica ( 3\times 3):
\det = A\;\bigl(C\,F-\tfrac{E^{2}}{4}\bigr) =-(\lambda-1)\,\lambda^{2}\,(\lambda-2)^{2}.
Esse determinante anula-se em \lambda=0,1,2. Desses, apenas \lambda=0 satisfaz \lambda<1 e \Delta>0, logo em \lambda=0 temos uma hipérbole degenerada (par de retas).

Passo 6

Conclusão sobre hipérboles:
  • Para todo \lambda<1 a equação é hipérbole não degenerada, exceto em \lambda=0.
  • Em \lambda=0 a hipérbole degenera em par de retas.
  • Para \lambda\ge1 não surge hipérbole.

Resposta

Para \lambda<1 a cônica é hipérbole.
O caso degenerado de hipérbole ocorre exatamente em \lambda=0.

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