Determine,caso existam,os valores de
para os quais a equação dada representa uma hipérbole,incluindo o caso degenerado.
;
Passo 1
O enunciado pede para a família de cônicas
ser classificada como hipérbole (incluindo o caso degenerado).
O conteúdo é classificação de cônicas (sem termo ) usando o discriminante
O conteúdo é classificação de cônicas (sem termo
onde no geral a cônica é
Passo 2
Primeiro trazemos tudo para um só lado:
Identificamos:
Passo 3
O discriminante da parte quadrática é
Para hipérbole não degenerada precisamos
, ou seja
Como
e só pode ser zero em
, a desigualdade reduz-se a
descartando
(aí
).
Passo 4
Logo, para todo
(e
, o que já ocorre se
) a cônica é hipérbole (não degenerada, salvo exceção que veremos).
Passo 5
Para achar os casos degenerados calculamos o determinante completo da cônica (
):
Esse determinante anula-se em
. Desses, apenas
satisfaz
e
, logo em
temos uma hipérbole degenerada (par de retas).
Passo 6
Conclusão sobre hipérboles:
- Para todo
a equação é hipérbole não degenerada, exceto em . - Em
a hipérbole degenera em par de retas. - Para
não surge hipérbole.
Resposta
Para
a cônica é hipérbole.
O caso degenerado de hipérbole ocorre exatamente em .
O caso degenerado de hipérbole ocorre exatamente em