2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
Se ou a seqüência é divergente o critério do -ésimo termo deve ser usado para concluir que a série diverge;
Se a série é da forma ela é uma série geométrica, que converge para se e diverge se ;
Se a série é da forma ela é uma série de encaixe, que converge para , se convergir. Se divergir a série de encaixe também diverge;
Se a série é da forma ela é uma -série e será convergente apenas quando ;
Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
Teste a convergência das séries: sumn=2^infty 1(ln n)^n
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=2^infty 1(ln n)^n
O conteúdo envolve critérios de convergência de séries numéricas; aqui vamos usar o Teste da Raiz.
Passo 2
O Teste da Raiz afirma que, se
L = limsupntoinfty raiz[n]|an| < 1,
então sum an converge absolutamente. No nosso caso,
an = 1(ln n)^n Longrightarrow raiz[n]|an| = raiz[n]1(ln n)^n = 1ln n
Portanto
L = limntoinfty 1ln n = 0
Passo 3
Como L=0<1, o Teste da Raiz garante convergência absoluta da série. Convergência absoluta implica convergência da série original.
Resposta
A série sumn=2^infty 1(ln n)^n converge (convergência absoluta).