2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
  1. Se lim an neq 0 ou a seqüência an é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para concluir que a série sum an diverge;
  2. Se a série é da forma sum alpha r^n-1 ela é uma série geométrica, que converge para alpha /(1-r) se |r|<1 e diverge se |r| >= 1;
  3. Se a série é da forma sum(bn-bn+1) ela é uma série de encaixe, que converge para b1-lim bn, se bn convergir. Se bn divergir a série de encaixe também diverge;
  4. Se a série é da forma sum 1 / n^p ela é uma p-série e será convergente apenas quando p>1;
  5. Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
& l<1 sumn=1^infty an conver>= abs Fim & l=lim |an+1an| longrightarrow l>1 ou l=infty longrightarrow sumn=1^infty an diver>= longrightarrow Fim & & boxedl=1 longrightarrow ? sumn=1^infty|an| longrightarrow Critérios Comparação / Integral & searrow & A<ernada longrightarrow Critério de Leibniz éçãé
Teste a convergência das séries:
sumn=2^infty 1(ln n)^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=2^infty 1(ln n)^n
O conteúdo envolve critérios de convergência de séries numéricas; aqui vamos usar o Teste da Raiz.

Passo 2

O Teste da Raiz afirma que, se
L = limsupntoinfty raiz[n]|an| < 1,
então sum an converge absolutamente. No nosso caso,
an = 1(ln n)^n Longrightarrow raiz[n]|an| = raiz[n]1(ln n)^n = 1ln n
Portanto
L = limntoinfty 1ln n = 0

Passo 3

Como L=0<1, o Teste da Raiz garante convergência absoluta da série. Convergência absoluta implica convergência da série original.

Resposta

A série sumn=2^infty 1(ln n)^n converge (convergência absoluta).

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