2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
  1. Se lim an neq 0 ou a seqüência an é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para concluir que a série sum an diverge;
  2. Se a série é da forma sum alpha r^n-1 ela é uma série geométrica, que converge para alpha /(1-r) se |r|<1 e diverge se |r| >= 1;
  3. Se a série é da forma sum(bn-bn+1) ela é uma série de encaixe, que converge para b1-lim bn, se bn convergir. Se bn divergir a série de encaixe também diverge;
  4. Se a série é da forma sum 1 / n^p ela é uma p-série e será convergente apenas quando p>1;
  5. Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
& l<1 sumn=1^infty an conver>= abs Fim & l=lim |an+1an| longrightarrow l>1 ou l=infty longrightarrow sumn=1^infty an diver>= longrightarrow Fim & & boxedl=1 longrightarrow ? sumn=1^infty|an| longrightarrow Critérios Comparação / Integral & searrow & A<ernada longrightarrow Critério de Leibniz éçãé
Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty(2n)^n n !

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^inftyan
onde
an=l(2nr)^nn!,
O conteúdo envolve testes de convergência de séries numéricas. Vamos seguir o roteiro sugerido: primeiro o teste do termo geral e verificar se não é geométrica, nem telescópica, nem p-série; em seguida usar o teste da razão.

Passo 2

Critérios 1 a 4 do roteiro:
  1. Teste do termo geral: precisamos de limntoinftyan=0 para não divergir trivialmente. Observando que
an=2^nn^n,n!
e que n! cresce “menos rápido” que n^n, fica plausível que lim an=0.
2. Não é série geométrica do tipo sum alpha r^n-1.
3. Não é série telescópica da forma sum(bn-bn+1).
4. Não é p-série do tipo sum1/n^p.
Como não há conclusão nos itens 1–4, passamos ao teste da razão.

Passo 3

Aplicar o teste da razão. Calculamos
an+1an =l(tfrac2n+1r)^,n+1(n+1)!l(tfrac2nr)^nn! =2;l(n,n+1r)^n,
Tomando o limite:
limntoinftyan+1an =2;limntoinftyl(1+1nr)^-n =2,e^-1 =2eapprox0,736<1
Como o limite l=tfrac2e<1, a série converge absolutamente pelo teste da razão.

Passo 4

Do teste da razão com l<1 segue que
  1. a série converge absolutamente,
  2. em particular a série original converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyl(tfrac2nr)^nn! converge absolutamente (logo converge).

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