As 8hs o navio A está a 25km ao sul do navio B. Se o navio A está navegando para o oeste à 16km/h e o navio B está navegando para o sul a 20km/h então determine a razão em que a distância entre os navios está variando às 8h30min.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem dois navios, o A e o B. Às 8h, o navio A está 25 km ao sul do navio B. O navio A está indo para o oeste a 16 km/h, e o navio B está indo para o sul a 20 km/h. A gente precisa descobrir quão rápido a distância entre eles está mudando às 8h30min. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento relativo e derivadas para achar a taxa de variação da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as posições dos navios em função do tempo. Vamos chamar o tempo a partir das 8h de $ t $ horas.
  • Navio A está indo para o oeste a 16 km/h, então a distância que ele percorre para o oeste em tempo $ t $ é $ 16t $.
  • Navio B está indo para o sul a 20 km/h, então a distância que ele percorre para o sul em tempo $ t $ é $ 20t $.

Passo 3

Agora, vamos determinar a posição relativa dos navios após $ t $ horas. Inicialmente, o navio A está 25 km ao sul do navio B. Após $ t $ horas:
  • A posição do navio A em relação ao ponto inicial é $ (16t, -25 - 0) $ km (movimento para oeste aumenta a coordenada x, e o sul diminui a coordenada y).
  • A posição do navio B em relação ao ponto inicial é $ (0, -25 - 20t) $ km.

Passo 4

A distância entre os dois navios pode ser encontrada usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano:
D = raiz(xA - xB)^2 + (yA - yB)^2
Substituindo as posições:
D = raiz(16t - 0)^2 + [(-25) - (-25 - 20t)]^2 = raiz(16t)^2 + (20t)^2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
D = raiz256t^2 + 400t^2 = raiz656t^2 = traiz656 = t cdot 8raiz41

Passo 6

Para encontrar a taxa de variação da distância em relação ao tempo, vamos derivar $ D $ em relação a $ t $:
D

Resposta

A taxa de variação da distância entre os navios às 8h30min é de $ 8\sqrt{41} $ km/h, aproximadamente 51,2 km/h.

Exercícios relacionados