Um espaço vetorial sobre os reais é um conjunto cujos elementos são chamados vetores, equipado com duas operações: adição entre vetores e multiplicação de um vetor por um escalar; onde tais operações devem satisfazer determinadas propriedades. Assinale a alternativa que contém, corretamente, a quantidade de propriedades que um conjunto deve satisfazer para ser um espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre espaços vetoriais sobre os números reais. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de vetores que você pode somar e multiplicar por números reais (escalars), seguindo certas regras. Para resolver esse exercício, precisamos saber quantas propriedades (ou axiomas) um conjunto deve obedecer para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para ser um espaço vetorial, nosso conjunto precisa ter duas operações: adição de vetores e multiplicação por um escalar. Mas não é só isso, essas operações precisam seguir algumas regras específicas.

Passo 3

Vamos listar essas propriedades, ou axiomas, que garantem que essas operações funcionem bem juntas:
  1. Fechamento da adição: Se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto.
  2. Fechamento da multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor do conjunto por um número real, o resultado também está no conjunto.
  3. Associatividade da adição: A ordem como você agrupa os vetores na soma não muda o resultado. Ou seja, (u + v) + w = u + (v + w).
  4. Comutatividade da adição: A ordem dos vetores na soma não altera o resultado. Ou seja, u + v = v + u.
  5. Elemento neutro da adição: Existe um vetor que, quando somado a qualquer vetor do conjunto, não muda esse vetor. Esse vetor é o vetor zero.
  6. Elemento inverso da adição: Para cada vetor, existe outro vetor que, quando somado, resulta no vetor zero.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: k(u + v) = k u + k v.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: (k + m)u = k u + m u.
  9. Compatibilidade da multiplicação por escalares: (k m)u = k(m u).
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1u = u, onde 1 é o número real multiplicador.

Passo 4

Então, somando todas essas propriedades, temos 10 axiomas que devem ser satisfeitos para que um conjunto com adição e multiplicação por escalar seja considerado um espaço vetorial sobre os reais.

Resposta

Um conjunto deve satisfazer 10 propriedades para ser um espaço vetorial.

Exercícios relacionados