[9] Considere a curva
.
(9.1) Determine uma equação polar da curva
simétrica de
em relação:
(a) ao eixo polar
(b) ao eixo à
© ao pólo.
(9.2) Verifique se
é simétrica em relação:
(a) ao eixo polar
(b) ao eixo à
© ao pólo.
(9.1) Determine uma equação polar da curva
(a) ao eixo polar
(b) ao eixo à
© ao pólo.
(9.2) Verifique se
(a) ao eixo polar
(b) ao eixo à
© ao pólo.
Passo 1
Estamos lidando com curvas em coordenadas polares, cujo formato geral é dado por uma relação entre
e
. A curva
satisfaz
. Precisamos usar transformações de
e
para obter as curvas reflexas em cada eixo ou ponto e depois verificar quais simetrias a própria curva possui.
Passo 2
Para refletir
em relação ao eixo polar, fazemos
. Substituindo em
, obtemos
. Portanto a curva reflexa satisfaz
.
Passo 3
Para refletir
em relação ao eixo
(linha
), fazemos
. Substituindo, fica
. Então a curva reflexa é dada de novo por
.
Passo 4
Para refletir
em relação ao pólo, aplicamos
(o que equivale a mudar o sentido do raio). Então
, ou seja, a equação permanece
.
Passo 5
Para verificar se
já é simétrica, comparamos as equações transformadas com a original. Nas reflexões pelo eixo polar e pelo eixo
a equação vira
, diferente da original. Na reflexão pelo pólo a equação não se altera. Logo,
é simétrica apenas em relação ao pólo.
Resposta
(9.1) a)
b)
c)
b)
c)
(9.2) A curva não é simétrica nem em relação ao eixo polar nem ao eixo
, mas é simétrica em relação ao pólo.