[9] Considere a curva C: r^2=2 sen 2 theta.
(9.1) Determine uma equação polar da curva C^prime simétrica de C em relação:
(a) ao eixo polar
(b) ao eixo à 90^circ
© ao pólo.
(9.2) Verifique se C é simétrica em relação:
(a) ao eixo polar
(b) ao eixo à 90^circ
© ao pólo.

Passo 1

Estamos lidando com curvas em coordenadas polares, cujo formato geral é dado por uma relação entre r e theta. A curva C satisfaz r^2 = 2sin2theta. Precisamos usar transformações de r e theta para obter as curvas reflexas em cada eixo ou ponto e depois verificar quais simetrias a própria curva possui.

Passo 2

Para refletir C em relação ao eixo polar, fazemos thetamapsto -theta. Substituindo em r^2 = 2sin2theta, obtemos r^2 = 2sin(2(-theta)) = 2sin(-2theta) = -2sin2theta. Portanto a curva reflexa satisfaz r^2 = -2sin2theta.

Passo 3

Para refletir C em relação ao eixo theta=90^circ (linha theta=tfracpi2), fazemos thetamapsto pi-theta. Substituindo, fica r^2 = 2sin(2(pi-theta)) = 2sin(2pi -2theta) = -2sin2theta. Então a curva reflexa é dada de novo por r^2 = -2sin2theta.

Passo 4

Para refletir C em relação ao pólo, aplicamos rmapsto -r (o que equivale a mudar o sentido do raio). Então (-r)^2 = r^2 = 2sin2theta, ou seja, a equação permanece r^2 = 2sin2theta.

Passo 5

Para verificar se C já é simétrica, comparamos as equações transformadas com a original. Nas reflexões pelo eixo polar e pelo eixo 90^circ a equação vira r^2 = -2sin2theta, diferente da original. Na reflexão pelo pólo a equação não se altera. Logo, C é simétrica apenas em relação ao pólo.

Resposta

(9.1) a) r^2 = -2sin2theta
b) r^2 = -2sin2theta
c) r^2 = 2sin2theta
(9.2) A curva não é simétrica nem em relação ao eixo polar nem ao eixo 90^circ, mas é simétrica em relação ao pólo.

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