Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe.
Não é permitido usar derivada. Justifique sua resposta.

Passo 1

A questão pede o limite de l(xx+1r)^2x quando xto+infty. O conteúdo aqui é limites de tipo exponencial do tipo (1+u)^1/uto e. Para resolver sem derivada, vamos precisar reescrever a base como 1+u com uto0 e usar o limite fundamental que define a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a fração xx+1 de modo a evidenciar algo da forma 1+u. Observe que
xx+1=1-1x+1
onde definimos o parâmetro
$$\nu=-\frac{1}{x+1}.
$$

Passo 3

Agora, note que conforme xto+infty, temos uto0. Com isso a expressão original vira
$$\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr){2x}=(1+u){2x}.
$$

Passo 4

Sabendo do limite fundamental
$$\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e,
$$ podemos reescrever
limuto0(1+u)^1/u=e,

Passo 5

Basta então calcular o expoente
$$\nu\cdot2x=-\frac{1}{x+1}\cdot2x=-\frac{2x}{x+1}\to-2\quad(x\to+\infty).
$$

Passo 6

Portanto, usando continuidade do exponencial, chegamos ao limite
$$\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr){2x}=e{-2}.
$$

Resposta

e^-2

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