Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe.
Não é permitido usar derivada. Justifique sua resposta.
Passo 1
A questão pede o limite de
quando
. O conteúdo aqui é limites de tipo exponencial do tipo
. Para resolver sem derivada, vamos precisar reescrever a base como
com
e usar o limite fundamental que define a função exponencial.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a fração
de modo a evidenciar algo da forma
. Observe que
onde definimos o parâmetro
$$\nu=-\frac{1}{x+1}.
$$
Passo 3
Agora, note que conforme
, temos
. Com isso a expressão original vira
$$\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr){2x}=(1+u){2x}.
$$
Passo 4
Sabendo do limite fundamental
$$\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e,
$$ podemos reescrever
Passo 5
Basta então calcular o expoente
$$\nu\cdot2x=-\frac{1}{x+1}\cdot2x=-\frac{2x}{x+1}\to-2\quad(x\to+\infty).
$$
Passo 6
Portanto, usando continuidade do exponencial, chegamos ao limite
$$\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x}{x+1}\Bigr){2x}=e{-2}.
$$