Se
representa o ramo principal da função potência, determine quem é a derivada as funções abaixo nos pontos indicados:
em
;
Passo 1
O exercício pede a derivada da função f(z)=z^{\sqrt{2}} no ponto z=-i, usando o ramo principal da potência. O conteúdo principal é função de variável complexa e vamos precisar usar a definição z{α}=e{α,Log(z)} com Log o logaritmo principal e a fórmula de derivação f’(z)=α
z^{α-1}.
z^{α-1}.
Passo 2
Escrevendo f(z)=z{\sqrt{2}}=e{\sqrt{2},Log(z)}, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de e^{g(z)} é e^{g(z)}⋅g’(z). Aqui g(z)=\sqrt{2},Log(z) e g’(z)=\sqrt{2}⋅1/z. Logo
f’(z)=\sqrt{2},e{\sqrt{2},Log(z)}\frac1z=\sqrt{2},z{\sqrt{2}-1}.
f’(z)=\sqrt{2},e{\sqrt{2},Log(z)}\frac1z=\sqrt{2},z{\sqrt{2}-1}.
Passo 3
Agora avaliamos em z=-i. No ramo principal temos |−i|=1 e Arg(−i)=−\frac{π}{2}, então Log(−i)=i(−\frac{π}{2}). Substituindo:
f’(-i)=\sqrt{2},(-i){\sqrt{2}-1}=\sqrt{2},e{(\sqrt{2}-1),Log(-i)}=\sqrt{2},e^{(\sqrt{2}-1)(-i,\frac{π}{2})}.
f’(-i)=\sqrt{2},(-i){\sqrt{2}-1}=\sqrt{2},e{(\sqrt{2}-1),Log(-i)}=\sqrt{2},e^{(\sqrt{2}-1)(-i,\frac{π}{2})}.