Encontre todas as soluções das seguintes EDO’s;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação diferencial ordinária
Aqui
é a função desconhecida e
. Vou listar o que temos e o que é preciso obter:
- Informação dada: a relação algébrica envolvendo
, e escrita acima. - O que pedir: achar as funções
que satisfazem essa igualdade (a família geral de soluções). - Observação importante: a equação contém termos com
que surgirão; portanto vamos trabalhar inicialmente para . Depois comentamos casos singulares.
Passo 2
Reescrevo a equação isolando a derivada
. Parto de
e passo o termo com
para o outro lado:
Nesta forma fica explícito que, para manipular dividindo por
ou por
, preciso ter atenção a
e
. Vou tratar
(caso regular). Se
a equação reduz a
, que só é verdadeira em
(logo
NÃO é solução global). Então prossigo assumindo
.
Passo 3
Notando os termos
e
(mesmo grau 3) e o termo
, faz sentido tentar a substituição de escala
onde
é uma nova função desconhecida. Intuição: essa mudança costuma simplificar equações homogêneas em
e
, porque reduz a dependência em potências compatíveis de
e
.
Passo 4
Calculo
em função de
:
Agora substituo
e
na forma
. Primeiro calculo
e
:
Substituindo tudo na equação original:
Simplifico o fator
(lembrando que estou assumindo
):
Dividindo por
obtém-se
Faço a expansão à esquerda:
. Então a igualdade fica
Cancelando
em ambos os lados obtemos uma equação muito simples:
Passo 5
A equação obtida é separável em
e
. Escrevo
e separo variáveis:
Aqui a ideia é colocar todos os termos com
numa integral e os com
noutra, para integrar cada lado em função de sua variável.
Passo 6
Integro ambos os lados:
As integrais são simples:
onde
é constante de integração (real). Usei
e
. O valor absoluto em
aparece porque a integral de
é
, cobrindo
e
.
Passo 7
Multiplico por
e defino uma constante
para simplificar:
Assim
onde interpretamos
como a raiz cúbica real (valendo para argumentos negativos também).
Passo 8
Volto à variável original
. Substituindo
obtemos a família geral de soluções (para
):
com
. Esta é a solução geral em termos de uma constante arbitrária
.
Passo 9
Comento brevemente casos singulares:
-
é ponto singular da transformação (porque dividimos por ). Não existe solução definida em um intervalo contendo que satisfaça a equação para todos os pontos, exceto possivelmente soluções definidas apenas em isoladamente. Portanto, a solução geral válida em intervalos onde é a acima. - A raiz cúbica permite que
seja negativa, produzindo real negativo; então não há problema de domínio além de .