Encontre todas as soluções das seguintes EDO’s;
t^{3}+u^{3}-t u^{2} u^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação diferencial ordinária
t^{3}+u^{3}-t u^{2} u^{\prime}=0.
Aqui u=u(t) é a função desconhecida e u'=\dfrac{du}{dt}. Vou listar o que temos e o que é preciso obter:
  • Informação dada: a relação algébrica envolvendo t, u(t) e u'(t) escrita acima.
  • O que pedir: achar as funções u(t) que satisfazem essa igualdade (a família geral de soluções).
  • Observação importante: a equação contém termos com \ln|t| que surgirão; portanto vamos trabalhar inicialmente para t\neq 0. Depois comentamos casos singulares.

Passo 2

Reescrevo a equação isolando a derivada u'. Parto de
t^{3}+u^{3}-t u^{2} u^{\prime}=0
e passo o termo com u' para o outro lado:
t u^{2} u^{\prime}=t^{3}+u^{3}.
Nesta forma fica explícito que, para manipular dividindo por t ou por u^{2}, preciso ter atenção a t=0 e u=0. Vou tratar t\neq0 (caso regular). Se u\equiv0 a equação reduz a t^{3}=0, que só é verdadeira em t=0 (logo u\equiv0 NÃO é solução global). Então prossigo assumindo t\neq0.

Passo 3

Notando os termos t^{3} e u^{3} (mesmo grau 3) e o termo t u^{2} u', faz sentido tentar a substituição de escala
u(t)=t\,v(t),
onde v(t) é uma nova função desconhecida. Intuição: essa mudança costuma simplificar equações homogêneas em t e u, porque reduz a dependência em potências compatíveis de t e u.

Passo 4

Calculo u' em função de v:
u'=v+t v'.
Agora substituo u=t v e u'=v+t v' na forma t u^{2} u'=t^{3}+u^{3}. Primeiro calculo u^{2} e u^{3}:
u^{2}=t^{2}v^{2},\qquad u^{3}=t^{3}v^{3}.
Substituindo tudo na equação original:
t\cdot(t^{2}v^{2})\cdot(v+t v')=t^{3}+t^{3}v^{3}.
Simplifico o fator t^{3} (lembrando que estou assumindo t\neq0):
t^{3} v^{2}(v+t v')=t^{3}(1+v^{3}).
Dividindo por t^{3} obtém-se
v^{2}(v+t v')=1+v^{3}.
Faço a expansão à esquerda: v^{2}\cdot v + v^{2}\cdot t v' = v^{3} + t v^{2} v'. Então a igualdade fica
v^{3}+t v^{2} v' = 1+v^{3}.
Cancelando v^{3} em ambos os lados obtemos uma equação muito simples:
t v^{2} v' = 1.

Passo 5

A equação obtida é separável em v e t. Escrevo v'=\dfrac{dv}{dt} e separo variáveis:
v^{2}\,dv=\frac{1}{t}\,dt.
Aqui a ideia é colocar todos os termos com v numa integral e os com t noutra, para integrar cada lado em função de sua variável.

Passo 6

Integro ambos os lados:
\int v^{2}\,dv=\int \frac{1}{t}\,dt.
As integrais são simples:
\frac{v^{3}}{3}=\ln|t|+C,
onde C é constante de integração (real). Usei \int v^{2}dv = v^{3}/3 e \int t^{-1}dt = \ln|t|. O valor absoluto em \ln|t| aparece porque a integral de 1/t é \ln|t|, cobrindo t>0 e t<0.

Passo 7

Multiplico por 3 e defino uma constante C_{1}=3C para simplificar:
v^{3}=3\ln|t|+C_{1}.
Assim
v(t)=\bigl(3\ln|t|+C_{1}\bigr)^{1/3},
onde interpretamos (\cdot)^{1/3} como a raiz cúbica real (valendo para argumentos negativos também).

Passo 8

Volto à variável original u(t)=t v(t). Substituindo v(t) obtemos a família geral de soluções (para t\neq0):
u(t)=t\bigl(3\ln|t|+C_{1}\bigr)^{1/3},
com C_{1}\in\mathbb{R}. Esta é a solução geral em termos de uma constante arbitrária C_{1}.

Passo 9

Comento brevemente casos singulares:
  • t=0 é ponto singular da transformação (porque dividimos por t). Não existe solução u(t) definida em um intervalo contendo t=0 que satisfaça a equação para todos os pontos, exceto possivelmente soluções definidas apenas em t=0 isoladamente. Portanto, a solução geral válida em intervalos onde t\neq0 é a acima.
  • A raiz cúbica permite que 3\ln|t|+C_{1} seja negativa, produzindo v real negativo; então não há problema de domínio além de t\neq0.

Resposta

u(t)=t\bigl(3\ln|t|+C\bigr)^{1/3},\qquad C\in\mathbb{R},\\ t\neq0

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